Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔMAD và ΔMBE có
\(\hat{AMD}=\hat{BME}\) (hai góc đối đỉnh)
MA=MB
\(\hat{MAD}=\hat{MBE}\) (hai góc so le trong, AD//BE)
Do đó: ΔMAD=ΔMBE
=>AD=BE
Xét tứ giác ADBE có
AD//BE
AD=BE
Do đó: ADBE là hình bình hành
b: Ta có: AD=BE
AD=BC
Do đó: BE=BC
=>B là trung điểm của CE
1. Chứng minh AI=2DH
Bước 1: Tính các góc và xác định độ dài đoạn thẳng.
- Vì ABCD là hình bình hành nên AB // DC và ∠D+∠A=180∘. ∠D=180∘−∠A=180∘−120∘=60∘
- DI là tia phân giác của ∠D nên: ∠CDI=∠ADI=2∠D=260∘=30∘
- Vì AB // DC và DI là cát tuyến nên ∠AID=∠CDI (hai góc so le trong). ∠AID=30∘
- Trong △ADI, ta có ∠AID=30∘ và ∠ADI=30∘. Do đó, △ADI là tam giác cân tại A. AD=AI
- Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = DC.
- I là trung điểm của AB nên AI=2AB. Từ đó suy ra: AD=AI=2AB
Bước 2: Xét △ADH.
- Ta có AH⊥DC (theo giả thiết), nên △ADH là tam giác vuông tại H.
- Trong hình bình hành, ∠ADC=∠D=60∘.
- Trong tam giác vuông ADH, ta có: cos(∠ADH)=ADDH cos(60∘)=ADDH 21=ADDH AD=2DH
Bước 3: Kết luận.
- Từ AI=AD (chứng minh ở Bước 1) và AD=2DH (chứng minh ở Bước 2), ta suy ra: AI=2DH(Điều phải chứng minh)
2. Chứng minh DI=2AH
Bước 1: Xét △ADH.
- △ADH là tam giác vuông tại H. Ta đã biết ∠D=60∘.
- Ta có: sin(∠ADH)=ADAH sin(60∘)=ADAH 23=ADAH AD=32AH(∗)
Bước 2: Xét △ADI.
- Trong △ADI, ta có ∠DAI=∠DAB=120∘. AD=AI và ∠ADI=30∘. ∠DAI=180∘−(∠AID+∠ADI)=180∘−(30∘+30∘)=120∘
- Áp dụng Định lý Sin cho △ADI: sin(∠DAI)DI=sin(∠AID)AD sin(120∘)DI=sin(30∘)AD 23DI=21AD DI⋅32=AD⋅2 DI=AD⋅3(∗∗)
Bước 3: Kết luận.
- Thay (∗) vào (∗∗), ta được: DI=(32AH)⋅3 DI=2AH(Điều phải chứng minh)
3. Chứng minh AC vuông góc với AD
Bước 1: Tính độ dài các cạnh liên quan đến △ADC.
- Ta có AI=AD và I là trung điểm AB. Suy ra AD=2AB.
- Vì ABCD là hình bình hành nên DC=AB. Do đó DC=2AD.
Bước 2: Xét △ADC.
- Ta có △ADC với:
- DC=2AD
- ∠ADC=60∘
- Áp dụng Định lý Cosin để tính AC2: AC2=AD2+DC2−2⋅AD⋅DC⋅cos(∠ADC) AC2=AD2+(2AD)2−2⋅AD⋅(2AD)⋅cos(60∘) AC2=AD2+4AD2−4AD2⋅21 AC2=5AD2−2AD2 AC2=3AD2
Bước 3: Kiểm tra tính vuông góc.
- Để AC⊥AD thì △ADC phải vuông tại A. Khi đó, theo định lý Pytago, ta cần có AD2+AC2=DC2.
- Thay các giá trị đã tính: AD2+AC2=AD2+3AD2=4AD2
- Và DC2=(2AD)2=4AD2.
- Vì AD2+AC2=DC2 (4AD2=4AD2), nên △ADC là tam giác vuông tại A.
- Do đó, AC⊥AD. (Điều phải chứng minh)
a: Xét ΔBHA vuông tại Hvà ΔBHK vuông tại H có
BH chung
HA=HK
Do đó: ΔBHA=ΔBHK
=>BA=BK
=>\(\hat{BAK}=\hat{BKA}\)
b: ta có; \(\hat{BAD}=\hat{KAD}=\frac12\cdot\hat{BAK}\) (AD là phân giác của góc BAK)
\(\hat{BKI}=\hat{AKI}=\frac12\cdot\hat{BKA}\) (KI là phân giác của góc BKA)
mà \(\hat{BAK}=\hat{BKA}\)
nên \(\hat{BAD}=\hat{KAD}=\hat{BKI}=\hat{AKI}\)
Xét ΔBAD và ΔBKI có
\(\hat{BAD}=\hat{BKI}\)
BA=BK
\(\hat{ABD}\) chung
Do đó: ΔBAD=ΔBKI
=>BD=BI; AD=KI
Xét ΔBAK có \(\frac{BI}{BA}=\frac{BD}{BK}\)
nên IK//AK
=>AKDI là hình thang
Hình thang AKDI có AD=KI
nên AKDI là hình thang cân
\(a,\left\{{}\begin{matrix}DH=HC\\BM=MC\end{matrix}\right.\Rightarrow HM\) là đtb tam giác BDC
\(\Rightarrow HM//BD\)
\(b,HM//BD\left(cm.trên\right)\\ \Rightarrow BD\perp HE\left(1\right)\left(HM\perp HE\right)\)
Lại có H là trực tâm nên CH là đường cao tam giác ABC
\(\Rightarrow CH\perp AB\Rightarrow HD\perp BE\left(2\right)\)
Mà \(DE\cap BE=E\left(3\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow E\) là trực tâm tam giác HBD
\(c,\) H là trực tâm nên BH là đường cao
\(\Rightarrow BH\perp AC\left(4\right)\)
Mà E là trực tâm nên DE là đường cao
\(\Rightarrow DE\perp BH\left(5\right)\\ \left(4\right)\left(5\right)\Rightarrow DE//AC\)
\(d,\left\{{}\begin{matrix}DH=HC\\\widehat{DHE}=\widehat{CHF}\left(đối.đỉnh\right)\\\widehat{DEH}=\widehat{HFC}\left(so.le.trong\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta DHE=\Delta CHF\left(g.c.g\right)\\ \Rightarrow EH=HF\)
A B C D F M H E
a) Đề sai nha bạn (Phải là cm E là trực tâm của \(\Delta\)BHD)
Xét \(\Delta\)BDC: M là trung điểm của BC, HC=HD => H là trung điểm của CD.
=> HM là đường trung bình của \(\Delta\)BDC => HM//BD.
Mà HM vuông góc với EF => BD cũng vuông góc với EF (Quan hệ song song vuông góc)
Xét \(\Delta\)BHD: BE vuông góc với DH; HE vuông góc với BD ( EF vuông góc BD cmt)
=> E là trực tâm của \(\Delta\)BHD (đpcm)
b) Nối D với E.
Ta có E là trực tâm \(\Delta\)BHD (cmt) => DE vuông góc BH
Mà AC vuông góc BH => DE//AC (Quan hệ song song vuông góc) hay DE//CF
=> ^EDH=^FCH (Cặp góc So le trong)
Xét \(\Delta\)DEH và \(\Delta\)CFH:
^DHE=^CHF (Đối đỉnh)
HD=HC \(\Rightarrow\)\(\Delta\)DEH=\(\Delta\)CFH (g.c.g)
^EDH=^FCH
\(\Rightarrow\)HE=HF (2 cạnh tương ứng) => Đpcm.
Gọi giao điểm HM với DC là P; giao điểm HN với BC là E
a) Vì HP vuông góc với IK, mà IK//CD nên DC vuông góc với HP
=> HP và CE là các đường cao của ▲HCN cắt nhau ở M
=> M là trực tâm ▲HCN , nên NM là đường cao thứ 3 hay NM vuông góc với HC
Lại có HC vuông góc với AB (CH là đường cao)
=> NM//AB
Xét ▲BDC có M là trung điểm BC và NM//BD nên ND = NC
b) Do IK//CD nên theo Talet: IH/DN = IK/NC (= AI/AN)
=> IH/IK = ND/NC = 1 (Vì ND = NC). Vậy IH = HK
Xét ΔDBC có CM/CB=CH/CD
nên HM//BD
=>BD vuông góc HE
Xét ΔHBD có
HE,BE là đường cao
HE cắt BE tại E
=>E là trực tâm
=>DE vuông góc BH
giúp mình nhanh nhé mik sắp đi học r