K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Bài 2: 

\(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab=5^2-2\cdot\left(-2\right)=9\)

\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}=\dfrac{a^3+b^3}{a^3b^3}=\dfrac{\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)}{\left(ab\right)^3}\)

\(=\dfrac{5^3-3\cdot5\cdot\left(-2\right)}{\left(-2\right)^3}=\dfrac{125+30}{8}=\dfrac{155}{8}\)

\(a-b=-\sqrt{\left(a+b\right)^2-4ab}=-\sqrt{5^2-4\cdot\left(-2\right)}=-\sqrt{33}\)

Câu 1:

Ta có: \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2^2}-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\) (1)

Ta có: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a^2-2b^2-a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)

23 tháng 3 2018

5 , a3+b3+c3\(\ge\) 3abc

\(\Leftrightarrow\) a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3a2b-3ab2-3abc\(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) (a+b)3+c3-3ab(a+b+c) \(\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2)-3ab(a+b+c) \(\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)\(\ge0\) (1)

ta co : a,b,c>0 \(\Rightarrow\)a+b+c>0 (2)

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge0\)

<=> 2a2+2b2+2c2-2ac-2cb-2ab\(\ge0\)

<=>a2+b2+c2-ab-bc-ac\(\ge\) 0 (3)

Từ (1)(2)(3)=> pt luôn đúng

24 tháng 8 2019

Vì \(a+b=3\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=9\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=7\)

24 tháng 8 2019

Vì \(a+b=3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=27\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=27\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3=18\)

11 tháng 12 2017

a/ \(\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

b/ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) đúng

c/ \(M=x^4-6x^3+13x^2-12x-5\)

Đặt \(x^2-3x=a\)thì ta có:

\(M=a^2+4a-5=\left(a+2\right)^2-9\ge-9\)

Dấu = xảy ra khi:

\(x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh...
Đọc tiếp

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:

\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).

Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).

Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng: 

a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).

b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).

c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).

Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:

\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).

8
21 tháng 10 2019

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\)  (1) 

áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2\(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\)   <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\)  ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

21 tháng 10 2019

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

5 tháng 8 2017

Trả lời gấp giùm mình nha! Ngày mai mình kiểm tra rồi. Rất mong các bạn trả lời sớm nhất

19 tháng 8

Chúng ta có hệ phương trình sau:

\(a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1\)\(a^{3} + b^{5} + c^{7} = 1\)

Cần tính giá trị biểu thức:

\(A = a^{2} + b^{9} + c^{1045}\)

Bước 1: Xem xét các hệ phương trình

Phương trình đầu tiên \(a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1\) là một phương trình đơn giản, cho biết tổng bình phương của ba biến này bằng 1.

Phương trình thứ hai \(a^{3} + b^{5} + c^{7} = 1\) có vẻ khó giải trực tiếp. Tuy nhiên, vì biểu thức yêu cầu tính giá trị \(a^{2} + b^{9} + c^{1045}\), ta có thể thử giả định các giá trị của \(a\)\(b\), và \(c\) sao cho các phương trình ban đầu thỏa mãn, và sau đó tính giá trị của \(A\).

Bước 2: Thử một số giá trị đơn giản của \(a\)\(b\), và \(c\)

Giả sử \(a = 1\)\(b = 0\), và \(c = 0\):

Thử với \(a = 1\)\(b = 0\), và \(c = 0\), ta kiểm tra xem liệu các phương trình có thỏa mãn không:

  1. Kiểm tra phương trình \(a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1\):

\(1^{2} + 0^{2} + 0^{2} = 1\)

Phương trình này thỏa mãn.

  1. Kiểm tra phương trình \(a^{3} + b^{5} + c^{7} = 1\):

\(1^{3} + 0^{5} + 0^{7} = 1\)

Phương trình này cũng thỏa mãn.

Vậy, \(a = 1\)\(b = 0\), và \(c = 0\) là một nghiệm của hệ phương trình.

Bước 3: Tính giá trị của \(A\)

Khi \(a = 1\)\(b = 0\), và \(c = 0\), ta tính \(A\):

\(A = a^{2} + b^{9} + c^{1045}\)\(A = 1^{2} + 0^{9} + 0^{1045} = 1 + 0 + 0 = 1\)

Đáp án:

\(A = 1\).

19 tháng 8

Tham khảo

10 tháng 4 2017

5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)

áp dụng bđ cosy

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

=> đpcm

6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt

7.áp dụng bđt cosy

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)

10 tháng 4 2017

1. (a-b)2>=0

=> a2+b2-2ab>=0

2. (a-b)2>=0

=> a2+b2>=2ab

=> \(\dfrac{a^2 +b^2}{2}\ge ab\)

3.Ta phích ra thôi,ta được : a2+2a < a2+2a+1

=> cauis trên đúng