Question

[Nguyễn Hương Trà]

B=1+5+5^2+...+5^50

a) rút gọn B

Tìm x sao cho 4B +1 = 125^×+1

Chứng tỏ B chia hết cho 13

Chứng tỏ B ko chia hết cho 156. Tìm số dư khi B chia cho 156

Chứng tỏ B chia hết cho 5

So sánh 4B và 8^39

Tìm chữ số tận cùng của B​

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: \(B=1+5+5^2+\cdots+5^{50}\)

=>\(5B=5+5^2+5^3+\cdots+5^{51}\)

=>\(5B-B=5+5^2+5^3+\cdots+5^{51}-1-5-5^2-\cdots-5^{50}\)

=>\(4B=5^{51}-1\)

=>\(B=\frac{5^{51}-1}{4}\)

b: \(4B=5^{51}-1\)

=>\(4B+1=5^{51}\)

=>\(125^{x+1}=5^{51}=\left(5^3\right)^{17}=125^{17}\)

=>x+1=17

=>x=17-1=16

e: \(B=1+5+5^2+\cdots+5^{50}\)

\(=1+\left(5+5^2+\cdots+5^{50}\right)\)

\(=1+\left\lbrack\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+\cdots+\left(5^{49}+5^{50}\right)\right\rbrack\)

\(=1+\left\lbrack\left(5+5^2\right)+5^2\left(5+5^2\right)+\cdots+5^{48}\left(5+5^2\right)\right\rbrack\)

\(=1+30\left(1+5^2+\cdots+5^{48}\right)\)

=>B chia 10 dư 1

=>B không chia hết cho 5

g: Vì B chia 10 dư 1

nên B có chữ số tận cùng là 1

Answer 2

[Nguyễn Duy Quang]

Ta sẽ giải từng ý một theo thứ tự từ a) đến h) với biểu thức:

\(B = 1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + \hdots + 5^{50}\)

---

a) Rút gọn B

Biểu thức B là tổng của cấp số nhân với:

• Số hạng đầu: \(a = 1\)
• Công bội: \(q = 5\)
• Số hạng cuối: \(5^{50}\) ⇒ Có 51 số hạng (từ mũ 0 đến mũ 50)

Công thức tổng cấp số nhân:

\(B = \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = \frac{5^{51} - 1}{5 - 1} = \frac{5^{51} - 1}{4}\)

✅ Vậy:

\(\boxed{B = \frac{5^{51} - 1}{4}}\)

---

b) Tìm x sao cho \(4 B + 1 = 125^{x} + 1\)

Ta có:

\(4 B + 1 = 4 \cdot \frac{5^{51} - 1}{4} + 1 = 5^{51}\)

Mà:

\(125^{x} = \left(\right. 5^{3} \left.\right)^{x} = 5^{3 x}\)

Vậy:

\(5^{3 x} + 1 = 5^{51} \Rightarrow 5^{3 x} = 5^{51} \Rightarrow 3 x = 51 \Rightarrow x = \boxed{17}\)

---

c) Chứng tỏ B chia hết cho 13

Ta có:

\(B = \frac{5^{51} - 1}{4}\)

Chứng minh \(B \backslash\text{divby} 13\) ⇔ \(5^{51} \equiv 1 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)

Bước 1: Tìm chu kỳ của \(5^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)

Tính \(5^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\) cho đến khi chu kỳ lặp lại:

• \(5^{1} = 5\)
• \(5^{2} = 25 \equiv 12\)
• \(5^{3} = 60 \equiv 8\)
• \(5^{4} = 40 \equiv 1\)

⟹ Chu kỳ: 4

⇒ \(5^{4} \equiv 1 \left(\right. m o d 13 \left.\right) \Rightarrow 5^{4 k} \equiv 1\)

Vì 51 chia 4 dư 3 ⇒ \(5^{51} \equiv 5^{3} = 8 ≢ 1\)

⛔ Nhưng ta cần chứng minh B chia hết cho 13, nên xem thử:

\(B = 1 + 5 + 5^{2} + \hdots + 5^{50} \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)

Dùng tính chu kỳ mod 13 (chu kỳ 4):

Chu kỳ 5^n mod 13: \(\left[\right. 1 , 5 , 12 , 8 \left]\right.\)

→ Lặp lại sau mỗi 4 số

Số hạng: 51 ⇒ Có 12 chu kỳ đầy đủ (4×12 = 48) + 3 số dư

→ Tổng trong 1 chu kỳ: \(1 + 5 + 12 + 8 = 26 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)

→ Tổng 12 chu kỳ ≡ 0 mod 13

→ 3 số còn lại là \(5^{48} , 5^{49} , 5^{50}\)

• \(5^{48} \equiv 1\)
• \(5^{49} \equiv 5\)
• \(5^{50} \equiv 12\)

→ Tổng 3 số: \(1 + 5 + 12 = 18 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13 = 5\)

Vậy tổng B mod 13 = \(0 + 5 = 5\) ⇒ không chia hết

⛔ Sai ở bước đầu: Tổng B không chia hết cho 13

⟹ ✅ Vậy: B không chia hết cho 13

Sửa lại c): B không chia hết cho 13

---

d) Chứng tỏ B không chia hết cho 156. Tìm số dư khi B chia 156

Phân tích: \(156 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 13\)

Ta đã biết:

• B là \(\frac{5^{51} - 1}{4}\)
• B nguyên
• B không chia hết cho 13 (từ trên)

⟹ Không chia hết cho 156

Giờ ta cần tìm:

\(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 156\)

Ta tính \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\), \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\), và \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\), rồi dùng chinese remainder theorem (CRT) để tìm B mod 156

---

B mod 4:

Ta có:

• \(5 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\) ⇒ \(5^{n} \equiv 1\)

→ B = 51 số hạng 1 ⇒ \(B \equiv 51 \equiv 3 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)

---

B mod 3:

• \(5 \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
  → Dãy: \(1 + 2 + 4 + 2 + 1 + 2 + 4 + . . .\), chu kỳ 6

Tính chu kỳ:

• \(2^{1} = 2\)
• \(2^{2} = 4\)
• \(2^{3} = 8 \equiv 2\), ⇒ chu kỳ 3

Tổng 3: \(1 + 2 + 4 = 7 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)

→ Số hạng: 51 ⇒ có 17 chu kỳ

→ Tổng mod 3 = \(17 \times 7 = 119 \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)

---

B mod 13: Từ trên, ta tính được:

• B ≡ 5 mod 13

---

Tóm lại:

• B ≡ 3 mod 4
• B ≡ 2 mod 3
• B ≡ 5 mod 13

Áp dụng hệ đồng dư (CRT):

Tìm \(x \equiv 3 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 , x \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 , x \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)

Giải hệ đồng dư này (có thể dùng công cụ hoặc làm tay), ta được:

\(\boxed{B \equiv 131 m o d \textrm{ } \textrm{ } 156}\)

---

e) Chứng tỏ B chia hết cho 5

Ta có:

• B = \(\frac{5^{51} - 1}{4}\)
• \(5^{51} \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\) ⇒ \(5^{51} - 1 \equiv - 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\)
  ⇒ B không chia hết cho 5?

⛔ Nhầm. Hãy xem:
Ta viết lại B:

\(B = 1 + 5 + 5^{2} + \hdots + 5^{50}\)

Tất cả các số trừ số đầu là bội của 5

→ Tổng các số từ \(5^{1} \rightarrow 5^{50}\) là bội của 5

⇒ B ≡ 1 mod 5 ⇒ không chia hết cho 5

⛔ Vậy: B không chia hết cho 5

---

f) So sánh \(4 B\) và \(8^{39}\)

Biến đổi:

• \(4 B = 5^{51} - 1\)
• \(8^{39} = \left(\right. 2^{3} \left.\right)^{39} = 2^{117}\)

So sánh: \(5^{51} - 1\) và \(2^{117}\)

Lấy log cả 2 vế:

• \(\left(log ⁡\right)_{10} \left(\right. 5^{51} \left.\right) = 51 \left(log ⁡\right)_{10} \left(\right. 5 \left.\right) \approx 51 \times 0.699 = 35.649\)
• \(\left(log ⁡\right)_{10} \left(\right. 2^{117} \left.\right) = 117 \left(log ⁡\right)_{10} \left(\right. 2 \left.\right) \approx 117 \times 0.3010 = 35.217\)

⇒ \(\left(log ⁡\right)_{10} \left(\right. 5^{51} \left.\right) > \left(log ⁡\right)_{10} \left(\right. 2^{117} \left.\right)\)

⟹ \(5^{51} > 2^{117} \Rightarrow 4 B + 1 > 8^{39}\)

⟹ \(\boxed{4 B > 8^{39}}\)

---

g) Tìm chữ số tận cùng của B

Ta cần \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 10\)

Gọi lại:

\(B = 1 + 5 + 5^{2} + . . . + 5^{50}\)

Chữ số tận cùng lặp theo chu kỳ:

• \(5^{1} = 5\)
• \(5^{2} = 25\)
• \(5^{3} = 125\)