Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) Xét tứ giác BFEC có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{BFC}\) và \(\widehat{BEC}\) cùng nhìn cạnh BC
Do đó: BFEC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
a: Xét tứ giác BCEF có \(\hat{BEC}=\hat{BFC}=90^0\)
nên BCEF là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔABI nội tiếp
AI là đường kính
Do đó: ΔABI vuông tại B
=>BA⊥BI
mà CH⊥BA
nên CH//BI
Xét (O) có
ΔACI nội tiếp
AI là đường kính
Do đó: ΔACI vuông tại C
=>CA⊥CI
mà BH⊥CA
nên BH//CI
ΔOBC cân tại O
mà OM là đường cao
nên M là trung điểm của BC
Xét tứ giác BHCI có
BH//CI
BI//CH
Do đó; BHCI là hình bình hành
=>BC cắt HI tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HI
Xét ΔHAI có
O,M lần lượt là trung điểm của IA,IH
=>OM là đường trung bình của ΔHAI
=>OM//AH và \(OM=\frac12AH\)
c: Ta có: BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{FEC}+\hat{FBC}=180^0\)
mà \(\hat{FEC}+\hat{AEF}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{AEF}=\hat{ABC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\hat{AEF}=\hat{ABC}\)
góc EAF chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{2\cdot EN}{2\cdot BM}=\frac{EN}{BM}\)
Xét ΔAEN và ΔABM có
\(\frac{AE}{AB}=\frac{EN}{BM}\)
góc AEN=góc ABM
Do đó: ΔAEN~ΔABM
=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AN}{AM}\)
Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC tại K
Xét tứ giác ABIC có \(\hat{ABI}+\hat{ACI}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABIC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{AIB}=\hat{ACB}\)
mà \(\hat{ACB}=\hat{AFE}\)
nên \(\hat{AIB}=\hat{AFE}\)
Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{AFE}=\hat{AHE}\)
=>\(\hat{AHE}=\hat{AIB}\)
Xét ΔAEH vuông tại E và ΔABI vuông tại B có
\(\hat{AHE}=\hat{AIB}\)
Do đó: ΔAEH~ΔABI
=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AI}\)
=>\(\frac{AN}{AM}=\frac{AH}{AI}\)
=>\(AN\cdot AI=AM\cdot AH\)
=>\(AN\cdot2R=AM\cdot2\cdot OM\)
=>\(AN\cdot R=AM\cdot OM\)
tứ giác BFEC có hai góc kề nhau cùng nhìn đoạn BC dưới một góc vuông : BFCˆ=BECˆ(=90)BFC^=BEC^(=90) ==> Tức giác BFEC là tứ giác nội tiếp
==> 4 điểm B,E,F,C cùng thuộc một đường tròn.