Câu hỏi của Thị Thu Thúy Lê

Question

1)Với hai số dương x và y, chứng minh rằng $\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{x+y}{4}\ge x\sqrt{y}+y\sqrt{x}$

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

alibaba nguyễn · Accepted Answer

Cách khác:

$\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{\left(x+y\right)}{4}\ge2xy+\frac{x+y}{4}$

$=\frac{4xy+x+4xy+y}{4}=\frac{x\left(4y+1\right)+y\left(4x+1\right)}{4}$

$\ge\frac{4x\sqrt{y}+4y\sqrt{x}}{4}=x\sqrt{y}+y\sqrt{x}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{4}$

Câu trả lời:

Cách khác:

$\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{\left(x+y\right)}{4}\ge2xy+\frac{x+y}{4}$

$=\frac{4xy+x+4xy+y}{4}=\frac{x\left(4y+1\right)+y\left(4x+1\right)}{4}$

$\ge\frac{4x\sqrt{y}+4y\sqrt{x}}{4}=x\sqrt{y}+y\sqrt{x}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{4}$

Lầy Văn Lội · Answer

$\frac{1}{2}\left(x+y\right)\left(x+y+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\left(x+\frac{1}{4}+y+\frac{1}{4}\right)$

Áp dụng bất đẳng thức cauchy:

$x+y\ge2\sqrt{xy}$

$x+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x}{4}}=\sqrt{x}$

$y+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{y}{4}}=\sqrt{y}$

do đó $VT\ge\frac{1}{2}.2.\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=x\sqrt{y}+y\sqrt{x}$(đpcm)

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{4}$

Câu trả lời:

$\frac{1}{2}\left(x+y\right)\left(x+y+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\left(x+\frac{1}{4}+y+\frac{1}{4}\right)$

Áp dụng bất đẳng thức cauchy:

$x+y\ge2\sqrt{xy}$

$x+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x}{4}}=\sqrt{x}$

$y+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{y}{4}}=\sqrt{y}$

do đó $VT\ge\frac{1}{2}.2.\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=x\sqrt{y}+y\sqrt{x}$(đpcm)

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{4}$