Question

[Hà Vũ]

cho các số thực x,y thỏa mãn x+y+xy=15 tinhs giá trị nhỏ nhất của biết thức  A=x^2+y^2

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

Ta có : \(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+1\ge2y\\x^2+y^2\ge2xy\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)+\left(y^2+1\right)+\left(x^2+y^2\right)\ge2x+2y+2xy\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2\ge2x+2y+2xy\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+2\right)\ge2\left(x+y+xy\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2\ge15\Rightarrow A=x^2+y^2\ge13\)

Answer 2

[Đinh Đức Hùng]

Bài dưới sai rồi; lm lại

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2\ge0\\\left(y-3\right)^2\ge0\\\left(x-y\right)^2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+9\ge6x\\y^2+9\ge6y\\x^2+y^2\ge2xy\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x^2+9\ge6x\\y^2+9\ge6y\\3x^2+3y^2\ge6xy\end{cases}}}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(4x^2+4y^2+18\ge6\left(x+y+xy\right)\)

\(\Rightarrow A=x^2+y^2\ge\frac{6\left(x+y+xy\right)-18}{4}=\frac{6.15-18}{4}=18\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=3\)