Question

[Aeris]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ AB vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ AC, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC.

a, Chứng minh:BD = CE

b, Trên tia đối của MA, lấy điểm N sao cho MN =MA. Chứng minh: tam giác ADE = tam giác CAN.

c, Gọi I là giao điểm của DE và AN. Chứng minh: \(\frac{AD^2+IE^2}{DI^2+AE^2}=1\)

Answer 1

[Nguyễn Quang Hải]

a) 

Ta có góc BAD =góc CAE ( cùng phụ với góc BAC)

Xét tam giác DAB và tam giác CAE có

AD=AC (gt)

góc BAD=CAE (cmt)

AB=AE

=>TAM GIAC BAD= CAE (c-g-c)

=>BD=CE (dpcm)

b)

Xét tam giác ABM và NCM có

MA=MN

góc AMB =NMC (đối đỉnh)

BM =CM (AM là trung tuyến )

=>tam giác ABM=NCM (c-g-c)

=>AB =CN 

=>CN=AE 

TA có BAM=CNM ( tam giác ABM=NCM)

=>AB //CN

=>BAC+ACN=180 (2 GÓC trong cung phía) (1)

c/m dc DAE+BAC=180 (2)

TỪ (1) và (2) 

=>ACN =DAE (CÙNG BÙ BAC)

xét TAM GIÁC ADE và tam giác CAN có

AD=AC (gt)

Góc DAE=ACN

AE=CN

=>Tam giác ADE= CAN (c-g-c)

C) gọi giao điểm của DE và AB là F

Ta có CNM=BAM hay CNM=FAI

MÀ GÓC CNM=AED

=>FAI=AED (=CNM) hay góc FAI=AEF

xét tam giác AFE có FAE=90

= góc AFE +AEF=90

Mà góc FAI=AEF (cmt)

=>góc AFE+FAI =90

=>góc AIF=90

=>\(AI\perp DE\)

XÉT tam giác AEI có AI\(\perp\)DE

=> AE² =AI²+IE²

=> DI²+AE²=AI²+IE² +DI²(3)

Xét tam giác ADI CÓ \(AI\perp DE\) 

=>AD²=AI²+DI²

=>AD²+IE²=AD²+AI²+DI² (4)

Từ (3) và(4) 

=>AD²+IE² =DI²+AE²

=>\(\frac{AD^2+IE^2}{DI^2+AE^2}\) =\(1\)(DPCM)