Cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\). Chứng minh \(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\) với n lẻ.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
18 tháng 3 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{a+b}{-\left(a+b+c\right).c}\)
TH1:a+b=0
=> a=-b
\(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{\left(-b\right)^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}\)(vì n lẻ nên (-b)n âm)
\(\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{\left(-b\right)^n+b^n+c^n}=\frac{1}{c^n}\)
TH2: ab=-(a+b+c)
=> ab=-ac-bc-c2 => ab+ac=-bc-c2=> a.(b+c)=-b.(b+c)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=-b\\b=-c\end{cases}}\)c/m tương tự trường hợp 1 :))
31 tháng 1 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=-\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}\)
\(TH1:a+b=0\Rightarrow a=-b\)
Mà n lẻ nên \(a^n=-b^n\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{c^n}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)
\(TH2:a+b\ne0\Rightarrow ab=-c\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca+c^2=0\Rightarrow\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=-c\\b=-c\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a^n=-c^n\\b^n=-c^n\end{cases}}\)(n lẻ)
\(\cdot a^n=-c^n\Rightarrow\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{b^n}\) ; \(\Rightarrow\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{b^n}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)
*\(b^n=-c^n\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n}\) ; \(\Rightarrow\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{a^n}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)
Vậy suy ra đpcm
(mik ms lp 8 thôi nên nếu mà sai mong pn thông cảm)
19 tháng 3 2019
Khôi Bùi chưa chắc đâu nha bạn, đầy người không biết ra...
15 tháng 11 2016
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}=\frac{bc+ca+ab}{abc}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(bc+ca+ab\right)=abc\)
\(\Rightarrow abc+a^2c+a^2b+b^2c+abc+ab^2+bc^2+ac^2+abc=abc\)
\(\Rightarrow2abc+a^2c+a^2b+b^2c+ab^2+bc^2+ac^2=0\)
\(\Rightarrow\left(abc+a^2b\right)+\left(ac^2+a^2c\right)+\left(b^2c+b^2a\right)+\left(bc^2+abc\right)=0\)
\(\Rightarrow ab\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)+b^2\left(a+c\right)+bc\left(a+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right)\left(a+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[\left(ab+ac\right)+\left(b^2+bc\right)\right]\left(a+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)
Do đó trong a , b , c luôn có 2 số đối nhau.
Phần 2 : Do vai trò a , b , c như nhau nên coi \(a=-b\)( Do có 2 số đối nhau)
\(\Rightarrow a^n=-b^n\)(Vì n lẻ )
\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{a^n+b^n}{a^n.b^n}+\frac{1}{c^n}=0+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}\)
\(\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{\left(a^n+b^n\right)+c^n}=\frac{1}{0+c^n}=\frac{1}{c^n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)
Vậy ...
HF
29 tháng 9 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)+a\left(ab+ac+bc\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)+a\left(ab+bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)+a^2\left(c+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(ab+ac+bc+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)=0\)
=> a=-b hoặc b=-c hoặc c = -a
Không mất tình tổng quát, giả sử a=-b -> a^n = -b^n ( n lẻ):
\(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^b+c^n}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
1. Đề thiếu
2. BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)
3.
Ta có:
\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Lại có:
\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
4.
Ta có:
\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
5.
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)
15 tháng 3 2020
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\). Khi đó, ta dễ dàng có được \(a^n\ge b^n\ge c^n\)và \(\frac{1}{b+c}\ge\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{a+b}\)
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có: \(\frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{c+a}+\frac{c^n}{a+b}\ge\frac{1}{3}\left(a^n+b^n+c^n\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
P/s: Đây là một bước nhỏ trong một cách chứng minh dạng tổng quát của bđt Nesbit
14 tháng 1 2017
Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b+c-c}{\left(a+b+c\right)c}=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)c}\right)=0\)
mà \(\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)c}\right)\ne0\)với mọi a,b,c
\(\Rightarrow\)a+b=0\(\Leftrightarrow\)a=-b là hai số đối nhau (1)
từ đó được \(a^n=-b^n\)với mọi n lẻ.
Khi đó \(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\Leftrightarrow\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}\)luôn đúng (2)
Từ (1)và(2) ta được đpcm
có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+ca^2+a^2c+3abc-abc=0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)^2+c^2\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{cases}}\)thay bằng dấu ngoặc vuông nha bạn
TH1: a=-b ; vì n là số lẻ nên a^n = -b^n
\(\Rightarrow\frac{1}{-b^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{-b^n+b^n+c^n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}\)( luôn đúng )
TH2, Th3: làm tương tự
=> kết luận đề bài
chúc bạn học tốt ^_^
thêm đk a,b,c khác 0 nữa nha bạn