bài 1:chứng minh rằng:m^2+n^2 ko là số chính phương với mọi số nguyên lẻ m,n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
0
11 tháng 7 2015
Dây là 4 số nguyên dương liên tiếp, còn phần kia tương tự nha
Đặt A = n.(n+1)(n+2)(n+3) với n ≥ 1; n € N
A = [n.(n+3)].[(n+1)(n+2)] = (n² + 3n).(n²+3n+2)
= t(t+2) (với t = n² + 3n ≥ 4 ; t € N)
Ta thấy
t² < A = t² + 2t < t² + 2t + 1 = (t+1)²
=> A nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp
=> A không phải là số chính phương (đpcm)
![[IMG]](http://i1033.photobucket.com/albums/a420/hanhvampire/04-2.gif)
GR
23 tháng 5 2015
1/ n3+n+2=(n+1)(n2-n+2)
Xet chẵn lẻ của n => chia hết cho 2 => hợp số
online math oi, chọn câu trả lời này đi
KD
0
8 tháng 8 2020
nếu m=n thì ta có đpcm
xét m khác n ta đặt \(\hept{\begin{cases}m+n=2x\\m-n=2y\end{cases}\left(x,y\in Z,x>0;y\ne0\right)}\)khi đó ta có \(\hept{\begin{cases}x+y=m\\x-y=n\end{cases}}\)do đó m,n>0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\x-y>0\end{cases}\Rightarrow x>\left|y\right|}\)
do \(n^2-1⋮\left|m^2-n+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2-1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2⋮m^2-n^2+1\)
\(\Rightarrow m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)\left(1\right)\left(k\inℤ\right)\)
thay m=x+y; n=x-y ta có \(\left(x+y\right)^2=k\left(4xy+1\right)\Leftrightarrow x^2-2\left(2k-1\right)xy+y^2-k=0\)(*)
phương trình (*) có 1 nghiệm của x thuộc Z nên có 1 nghiệm nữa là x1 theo hệ thức Vi-et ta có
\(\hept{\begin{cases}x+x_1=2\left(2k-1\right)\\xx_1=y^2-k\end{cases}}\Rightarrow x_1\inℤ\)
nếu x1>0 thì (x1;y) là một cặp nghiệm thỏa mãn (*)
=> \(x_1>\left|y\right|\Rightarrow y^2-k=xx_1>\left|y\right|^2=y^2\Rightarrow k< 0\Rightarrow x_1+x=2\left(2k-1\right)< 0\)mâu thuẫn
nếu x1<0 thì \(xx_1=y^2-k< 0\Rightarrow k>y^2\Rightarrow k>0\Rightarrow4xy+1>0\Rightarrow y>0\)ta có
\(k=x_1^2-2\left(2k-1\right)x_1y+y^2=x_1^2+2\left(2k-1\right)\left|x_1\right|y\ge2\left(2k-1\right)>k\)mâu thuẫn
vậy x1=0 khi đó k=y2 và \(m^2-n^2+1=\frac{m^2}{k}=\left(\frac{m}{y}\right)^2\)nên m2-n2+1 là số chính phương
2 tháng 8 2023
Câu đầu tiên của đề bài là "Với mọi \(n\inℤ^+\)..." chứ không phải \(m\) nhé, mình gõ nhầm.
XO
3 tháng 8 2023
a) Ta phân tích \(n=x_1^{a_1}.x_2^{a_2}...x_m^{a_m}\) (với \(x_1;x_2;..x_n\) là số nguyên tố ;
\(a_1;a_2;..a_m\inℕ^∗\) và là số mũ tối đa của mỗi số nguyên tố )
Khi đó ta có \(\sigma\left(n\right)=\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)...\left(a_m+1\right)\)
mà \(\sigma\left(n\right)\) lẻ \(\Leftrightarrow\) \(a_1+1;a_2+1;...a_m+1\) lẻ
\(\Leftrightarrow a_1;a_2;..a_m\) chẵn
\(\Leftrightarrow n\) là số chính phương
=> n luôn có dạng \(n=l^2\)
Mặt khác \(x_1;x_2;..x_m\) là số nguyên tố
Nếu \(x_1;x_2;..x_m\) đều là số nguyên tố lẻ thì l lẻ
<=> r = 0 nên n = 2r.l2 đúng (1)
Nếu \(x_1;x_2;..x_m\) tồn tại 1 cơ số \(x_k=2\)
TH1 : \(a_k\) \(⋮2\)
\(\Leftrightarrow a_k+1\) lẻ => \(\sigma\left(n\right)\) lẻ (thỏa mãn giả thiết)
=> n có dạng n = 2r.l2 (r chẵn , l lẻ)(2)
TH2 : ak lẻ
Ta dễ loại TH2 vì khi đó \(a_k+1⋮2\) nên \(\sigma\left(n\right)⋮2\) (trái với giả thiết)
Nếu \(n=2^m\) (m \(⋮2\)) thì r = m ; l = 1 (tm) (3)
Từ (1);(2);(3) => ĐPCM