Cho x, y >0 thỏa mãn x+y+2=4xy
Tìm GTNN của x+y+\(\dfrac{1}{x+y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MH
19 tháng 2 2022
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương, ta có:
\(\left[\left(x+y\right)+\dfrac{1}{x+y}\right]\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\dfrac{1}{x+y}}=2\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x+y=\dfrac{1}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=1\)
5 tháng 6 2022
C1:
\(x,y>0\)
\(M=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+2+\dfrac{1}{y^2}=\left(x^2+\dfrac{1}{16x^2}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\)Theo BĐT AM-GM (Caushy) ta có:
\(M=\left(x^2+\dfrac{1}{16x^2}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}.2\sqrt{\dfrac{1}{x^2}.\dfrac{1}{y^2}}+4=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4+\dfrac{15}{4}.\dfrac{1}{xy}\ge5+\dfrac{15}{4}.\dfrac{1}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}\ge5+\dfrac{15}{4}.\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=20\)Đẳng thức xảy ra \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{1}{16}x^2\\y^2=\dfrac{1}{16}y^2\\x+y=1\\x,y>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(MinM=20\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 4 2022
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$
$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$
Cộng 2 BĐT trên lại:
$P\geq 16+8=24$
Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 4 2022
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$
$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$
Cộng 2 BĐT trên lại:
$P\geq 16+8=24$
Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$
2 tháng 7 2018
Bài 2. Áp dụng BĐT Cauchy dưới dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+4+9\right)^2}{x+y+z}=196\)
⇒ \(P_{MIN}=196."="\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 8 2021
\(P=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}+\left(\dfrac{x}{3y}+3xy+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)+12\left(xy+\dfrac{1}{9}\right)-2\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{xy}}+4\sqrt[4]{\dfrac{3x^2y}{27y}}+12.2\sqrt{\dfrac{xy}{9}}-2\)
\(P\ge4\sqrt{\dfrac{x}{3}}+8\sqrt{xy}=4\left(2\sqrt{xy}+\sqrt{\dfrac{x}{3}}\right)=4\)
\(P_{min}=4\) khi \(x=y=\dfrac{1}{3}\)
HT
5
20 tháng 12 2019
Nguyễn Linh Ch Thanks cô ạ,e thiếu + 2:(( ko hiểu sao dạo này e hay nhầm ạ:(
\(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x^2y^2}=\frac{1}{\left(xy\right)^2}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}=16\)
Ta có:
\(P=a+\frac{1}{a}+2=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{256}\right)+\frac{255a}{256}+2\)
Theo BĐT Cô-si ta có:
\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{256}}+\frac{255\cdot16}{256}+2=\frac{289}{16}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=6\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
19 tháng 12 2019
\(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)
Đặt \(\frac{1}{x^2y^2}=a\)
Ta có:\(a=\frac{1}{x^2y^2}=\frac{1}{\left(xy\right)^2}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}\ge16\)
Khi đó:
\(P=a+\frac{1}{a}+2=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{256}\right)+\frac{255a}{256}\)
Theo BĐT Cô si ( từ nay bỏ AM-GM,thấy quê quê sao á ) ta có:
\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{256}}+\frac{255\cdot16}{256}=\frac{27}{16}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(x+y+2=4xy\Rightarrow x+y+2\le\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x+y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\ge0\) (do x+y+1>0 với mọi x,y>0)
\(\Leftrightarrow x+y\ge2\)
Có \(x+y+\dfrac{1}{x+y}=\left(x+y\right)+\dfrac{4}{x+y}-\dfrac{3}{x+y}\)\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\dfrac{4}{x+y}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}\)
Dấu = xảy ra <=> x=y=1
Vậy GTNN của biểu thức là \(\dfrac{5}{2}\)