Có bạn nào biết cách CM BĐT Svacxơ không??? Giúp mk vs????
Qua đó, CMR \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) với x, y, z là các số thực khác 0.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 8 2020
BĐT CẦN CM
<=> \(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
<=> \(\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\ge9xyz\)
ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ TA ĐƯỢC:
\(\hept{\begin{cases}xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\\x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\end{cases}}\)
NHÂN 2 BĐT ĐÓ LẠI TA ĐƯỢC:
\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.3\sqrt[3]{xyz}=9\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=9xyz\)
VẬY TA CÓ ĐPCM.
DẤU "=" XẢY RA <=> \(x=y=z\)
PN
15 tháng 8 2020
Đây là bất đẳng thức Svacxo nhé
và đây là dạng tổng quát và cách chứng minh
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Ta có : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(*)
\(< =>\left(a^2x+b^2y\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)
\(< =>\left(bx-ay\right)^2\ge0\)*đúng*
Áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta có :
\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\right)+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
15 tháng 1 2018
2. Có : 1/x + 1/y + 1/z = 0
=> 1 + x/y + x/z = 0 => x/y + x/z = -1
Tương tự : y/x + y/z = -1 ; z/x + z/y = -1
=> x/y + x/z + y/x + y/z + z/x + z/y = -3
Lại có : 1/x+1/y+1/z = 0
<=> xy+yz+zx/xyz = 0
<=> xy+yz+zx = 0
Xét : 0 = (xy+yz+zx).(1/x^2+1/y^2+1/z^2)
= xy/z^2+xz/y^2+xy/z^2+x/y+y/x+y/z+z/y+z/x+x/z
= xy/z^2+xz/y^2+xy/z^2-3
=> xy/z^2+xz/y^2+xy/z^2 = 3
=> ĐPCM
Tk mk nha
15 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\Rightarrow b+c\ge4a.4bc=16abc\)
4 tháng 11 2017
vì x+y+z=1nên
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)
nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)
dau = xay ra khi x=y=z=1/3
CB
1 tháng 6 2019
xD
Có: \(\frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\)(1)
\(=\frac{\left(x-z\right)\left(x+z\right)}{y+z}+\frac{\left(y-x\right)\left(x+y\right)}{z+x}+\frac{\left(z-y\right)\left(y+z\right)}{x+y}\)
\(\left(1\right)=S_1\left(x-z\right)^2+S_2\left(y-x\right)^2+S_3\left(z-y\right)^2\)
Trong đó:
\(\hept{\begin{cases}S_1=\frac{x+z}{\left(y+z\right)\left(x-z\right)}\\S_2=\frac{x+y}{\left(z+x\right)\left(y-x\right)}\\S_3=\frac{y+z}{\left(x+y\right)\left(z-y\right)}\end{cases}}\)
Giả sử: \(x\ge y\ge z\)( x,y,z lớn hơn 0)
Có: \(S_1=\frac{x+z}{\left(y+z\right)\left(x-z\right)}\ge0\)
Xét: \(S_1+S_2=\frac{x+z}{\left(y+z\right)\left(x-z\right)}-\frac{x+y}{\left(x+z\right)\left(x-y\right)}=\frac{\left(x+z\right)^2+\left(x+y\right)\left(y+z\right)^2+\left(y+z\right)\left(y-z\right)\left(2x+y+z\right)}{.....}\ge0\)
Xét tiếp \(S_1+S_3\)là xong
Không biết đúng k tại mình hơi yếu
T
1 tháng 6 2019
*Nếu được giả sử như bạn Cà Bùi thì bài làm của em như sau,mong mọi người góp ý ạ!
Ta có: \(VT=\frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}-\frac{x^2-z^2+y^2-x^2}{x+y}\)
\(=\left(x^2-z^2\right)\left(\frac{x+y-y-z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\right)+\left(y^2-x^2\right)\left(\frac{x+y-z-x}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}\right)\) (nhóm các số thích hợp + quy đồng)
\(=\frac{\left(x+z\right)\left(x-z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}{\left(z+x\right)}\)
Do a, b, c có tính chất hoán vị, nên ta giả sử y là số lớn nhất. Khi đó vế trái không âm hay ta có đpcm.
AM
14 tháng 3 2020
Áp dụng BĐT AM-GM: $VP\leq \frac{25}{yz+zx+xy+4}$
Cần c/m: $\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}$\leq \frac{25}{yz+zx+xy+4}$
$\Leftrightarrow (yz+zx+xy)(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})+4(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})\leq 25xyz+4(yz+zx+xy)+16$
BĐT trên sẽ được c/m nếu c/m được: $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq 4$.
KMTTQ, g/sử y nằm giữa x và z. $\Rightarrow x(x-y)(y-z)\geq 0$
$\Leftrightarrow xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq y(x^{2}+xz+z^{2})\leq y(x+z)^{2}$
Đến đây áp dụng BĐT AM-GM:
$y(x+z)^{2}=4.y.(\frac{x+z}{2})(\frac{x+z}{2})\leq \frac{4(y+\frac{x+z}{2}+\frac{x+z}{2})^{3}}{27}=\frac{4(x+y+z)^{3}}{27}=4$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi, chẳng hạn $x=0;y=1;z=2$
12 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Rearrangement ta có:
\(VT=\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+xy^2+yz^2+zx^2+3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)\(\le\frac{21+y\left(x+z\right)^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\le\frac{21+\frac{\left(\frac{2\left(x+y+z\right)}{3}\right)^3}{2}}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}=\frac{21+4}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}=\frac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}\)
Dấu "=" xảy ra <=> (x;y;z)=(2;1;0) và hoán vị của nó
LN
26 tháng 3 2019
Có: \(x+y+z=0\)
CM được: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow xy+xz+yz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+xz+yz\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+3\left(xy+yz\right)\left(xz+yz\right)\left(xz+xy\right)=0\)(từ CT: (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)
\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+3xyz\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)(Thế x+y=-z ; y+z=-x và x+z=-y)
\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3=3x^2y^2z^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)=6x^2y^2z^2\)(1)
Có: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^6+y^6+z^6+2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)=9x^2y^2z^2\)(2)
Từ (1) và (2):
Có: \(x^6+y^6+z^6=3x^2y^2z^2\)
Cho nên: \(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz}=xyz\)
Lớp 8 chưa cần biết Svacxơ làm gì cả.
Bạn chứng minh cái này rồi áp dụng cũng được
\(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\) với \(m;n>0\)
Mk hk bt CM \(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\). Chính vì vậy nên ms hỏi cách CM Svacxơ cho nhanh....
Giúp mk đk ko???