K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 5 2017

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Cho đường tròn \(\left(O;R\right)\) và 2 đường kính \(AB\) và \(CD\) sao cho tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left(O;R\right)\) cắt các đường thẳng \(BC\) và \(BD\) tại hai điểm tương ứng là \(E\) và \(F\). Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AE\) và \(AF\). \(a\)) Chứng minh rằng trực tâm \(H\) của tam giác \(BPQ\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\). \(b\)) Gọi \(\alpha\) là số đo góc...
Đọc tiếp

Cho đường tròn \(\left(O;R\right)\) và 2 đường kính \(AB\) và \(CD\) sao cho tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left(O;R\right)\) cắt các đường thẳng \(BC\) và \(BD\) tại hai điểm tương ứng là \(E\) và \(F\). Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AE\) và \(AF\).
\(a\)) Chứng minh rằng trực tâm \(H\) của tam giác \(BPQ\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\).
\(b\)) Gọi \(\alpha\) là số đo góc \(BFE\). Hai đường kính \(AB\)\(CD\)​ thỏa mãn điều kiện gì thì biểu thức: \(P=\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\) đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
\(c\)) Chứng minh các hệ thức sau: \(CE\cdot DF\cdot EF=CD^3\) và \(\dfrac{BE^3}{BF^3}=\dfrac{CE}{DF}\)

1
12 tháng 11 2023

a) Định nghĩa lại H là trung điểm OA. Ta thấy OQ là đường trung bình của tam giác ABF nên OQ//BF. Hơn nữa \(BF\perp BE\) nên \(OQ\perp BE\). Lại có \(BA\perp QE\) nên O là trực tâm của tam giác BEQ \(\Rightarrow OE\perp BQ\)

 Mặt khác, PH là đường trung bình của tam giác AOE nên PH//OA. Do đó, \(PH\perp BQ\). Lại thấy rằng \(BH\perp PQ\) nên H là trực tâm tam giác BPQ (đpcm)

 b) Ta có \(P=\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\) 

\(=\left(\sin^2\alpha\right)^3+\left(\cos^2\alpha\right)^3\)

\(=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\left(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha-\sin^2\alpha\cos^2\alpha\right)\)

\(=1.\left[\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\right]\)

\(=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)

\(\le1-3.\dfrac{\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2}{4}\)

\(=\dfrac{1}{4}\)

 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sin\alpha=\cos\alpha\) \(\Leftrightarrow\alpha=45^o\) hay 2 dây AB, CD vuông góc với nhau.

Vậy \(min_P=\dfrac{1}{4}\)

c) Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}EC.EB=EA^2\\FD.FB=FA^2\end{matrix}\right.\)  (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow EC.EB.FD.FB=\left(EA.FA\right)^2\)

\(\Rightarrow EC.FD.\left(EB.DB\right)=AB^4\)

\(\Rightarrow EC.FD.\left(EF.AB\right)=AB^4\)

\(\Rightarrow EC.FD.EF=AB^3=CD^3\) (đpcm)

Ta có \(EC.DF=AC.AD=BC.BD\)

\(\Rightarrow\dfrac{EC}{DF}=\dfrac{BC.BD}{DF^2}\) 

\(=\dfrac{BC}{DF}.\dfrac{BD}{DF}\) 

\(=\dfrac{BE}{BF}.\dfrac{AC}{DF}\) 

\(=\dfrac{BE}{BF}.\dfrac{AE}{AF}\)

\(=\left(\dfrac{BE}{BF}\right)^3\)

Ta có đpcm.

Bài khá căng đấy

a: ΔODE cân tại O

mà OM là trung tuyến

nên OM vuông góc DE

=>góc OMA=90 độ=góc OCA=góc OBA

=>O,A,B,M,C cùng thuộc 1 đường tròn

b: Xét ΔBSC và ΔCSD có

góc SBC=góc SCD

góc S chung

=>ΔBSC đồng dạng với ΔCSD

=>SB/CS=SC/SD

=>CS^2=SB*SD

góc DAS=gócEBD

=>góc DAS=góc ABD

=>ΔSAD đồng dạng với ΔSBA

=>SA/SB=SD/SA

=>SA^2=SB*SD=SC^2

=>SA=SC
c; BE//AC

=>EH/SA=BH/SC=HJ/JS

mà SA=SC
nênHB=EH

=>H,O,C thẳng hàng

24 tháng 5 2017

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

15 tháng 12 2021

có góc AQB= 90 độ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) Hay góc AQP=90 độ => góc QAP= 90 độ- góc QPA=90 độ-1/2sđ cung AP

có góc APC= 90 độ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O1)=> góc PAC=90 độ - góc PCA=90 độ - 1/2sđ cung AP

Vì vậy góc QAP= góc PAC hay AP là tia phân giác của  góc QAB

15 tháng 12 2021

Ta có: góc BQA =90o (góc nội tiếp chắn nửa (O))

Xét Δ PQA vuông tại Q có: góc QAP + góc QPA =90o ⇒ góc QAP=90o- góc QPA 

Mà góc QPA =1/2 sđ cung PA ( góc QPA là góc tạo bởi tia tiếp tuyến cà dây cung chắn cung AP của (O1))

⇒góc QAP=90o- 1/2 sđ cung PA (1)

Xét ΔCPA vuông tại P ( vì góc CPA là góc nội tiếp chắn nửa (O1)) có

góc PCA + góc PAC =90o⇒góc PAC =90o-góc PCA 

mà góc PCA =1/2 sđ cung PA ( góc nội tiếp chắn cung PA )

⇒góc PAC= 90o-1/2 sđ cung PA (2)

Từ (1) và (2) ⇒ góc QAP=góc PAC ⇒ AP là tia phân giác của góc QAB

 

18 tháng 9 2017

Đường tròn c: Đường tròn với tâm O1 và bán kính 5 Đường tròn d: Đường tròn với tâm O2 và bán kính 2 Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [C, D] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [O1, A] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [O2, B] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [O1, C] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [O2, D] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [O1, O2] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [O2, H] O1 = (2.46, 0.9) O1 = (2.46, 0.9) O1 = (2.46, 0.9) O2 = (14, 2.1) O2 = (14, 2.1) O2 = (14, 2.1) Điểm A: Giao điểm đường của c, g Điểm A: Giao điểm đường của c, g Điểm A: Giao điểm đường của c, g Điểm B: Giao điểm đường của d, g Điểm B: Giao điểm đường của d, g Điểm B: Giao điểm đường của d, g Điểm C: Giao điểm đường của c, i Điểm C: Giao điểm đường của c, i Điểm C: Giao điểm đường của c, i Điểm D: Giao điểm đường của d, i Điểm D: Giao điểm đường của d, i Điểm D: Giao điểm đường của d, i Điểm I: Giao điểm đường của k, q Điểm I: Giao điểm đường của k, q Điểm I: Giao điểm đường của k, q Điểm H: Giao điểm đường của r, l Điểm H: Giao điểm đường của r, l Điểm H: Giao điểm đường của r, l

Gọi giao điểm của O1O2 và CD là I.

Ta thấy rằng \(\Delta O_1CI\sim\Delta O_2DI\) theo tỉ số đồng dạng là \(k=\frac{O_1C}{O_2D}=\frac{5}{2}\)

Đặt \(ID=2x\left(cm\right)\Rightarrow IC=5x\Rightarrow CD=7x\Rightarrow AB=1,5.7x=10,5x\)

Theo Pitago ta cũng có \(O_1I=\sqrt{25x^2+25};O_2I=\sqrt{4x^2+4}\left(1\right)\)

Xét hình thang vuông ABO2O1 , kẻ O2H vuông góc với AO1 , ta tính được \(HO_1=5-2=3\left(cm\right)\)

Vậy thì \(O_1O_2^2=O_2H^2+HO_1^2\Rightarrow O_1O_2=\sqrt{110,25x^2+9}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\sqrt{110,25x^2+9}=\sqrt{25x^2+25}+\sqrt{4x^2+4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{110,25x^2+9}=5\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{110,25x^2+9}=7\sqrt{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow110,25x^2+9=49x^2+49\)

\(\Leftrightarrow x^2=\frac{32}{49}\Rightarrow O_1O_2=7.\sqrt{\frac{32}{49}+1}=9\left(cm\right)\)

Vậy O1O2 = 9 cm.