Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1. CMR \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
23 tháng 7 2018
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\)
\(=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+3\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2\)
\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{b}}=2\)
Suy ra:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+3\ge2+2+2+3=9\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
23 tháng 7 2018
Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ≥ \(\dfrac{9}{a+b+c}\)
⇔ \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{≥}\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{a+b+c}\)
⇔ \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{≥}9\)
\("="\text{⇔}a=b=c\)
9 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}\)
\(=\dfrac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=9\left(a+b+c\le1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
2 tháng 4 2018
Đầu tiên ta cm:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)(tự cm)
Áp dụng:\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
Lại có:\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=\left(a+b+c\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\ge\dfrac{9}{1}=9\)
\(\Rightarrowđpcm\)
12 tháng 5 2022
-Áp dụng BĐT Caushy Schwarz ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{1}=9\)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
H2
2
C
8 tháng 5 2017
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
=\(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\)
= \(3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\)
\(\ge3+2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}+2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{b}}\)
\(\ge3+2+2+2=9\left(đpcm\right)\)
9 tháng 5 2017
vì a,b,c là các số dương nên ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
nhân hai vế vs nhau, ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
PA
17 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\)
\(\ge3+2+2+2=9\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
17 tháng 7 2017
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{9\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)}=9\)
Dấu " = " khi a = b = c
J
2
26 tháng 8 2017
Áp dụng bđt cosi cho 3 số thực không âm a,b,c ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (1)
Và \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\) (2)
Nhân (1) cho (2) vế theo vế được :
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
hay \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\) (đpcm)
UK
26 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{3^2}{1}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Áp dụng AM-GM
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}=9\)
\(\rightarrow1.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
vậy ta có điều phải chứng minh
Dấu "=" \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Áp dụng svac-xơ:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)
Dấu = xảy ra <=> \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
C2: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}\)
\(=3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)\)
\(\ge3+2+2+2=9\) (theo cosi)
Dấu = xảy ra <=>\(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)