Cho x, y thoả mãn : x2 + y2 - 4x - 2 = 0. CMR : \(10-4\sqrt{6}\le x^2+y^2\le10+4\sqrt{6}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 10 2020
Phương trình tương đương với \(x^2+y^2=4x+2\left(1\right)\)
Ta có: \(x^2-4x-2=-y^2\le0\Rightarrow\left(x-\sqrt{6}-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow2-\sqrt{6}\le x\le2+\sqrt{6}\)
\(\Leftrightarrow10-4\sqrt{6}\le4x+2\le10+4\sqrt{6}\left(2\right)\)
Từ 1 và 2 \(\Rightarrow10-4\sqrt{6}\le x^2+y^2\le10+4\sqrt{6}\)
Nhận xét: bài toán áp dụng biến đổi tương đương 1 pt, giả bpt bậc 2.
* Biến đổi tương đương 1 pt:
\(x^2+y^2-4x-2=0\Leftrightarrow x^2+y^2=4x+2\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x-2=-y^2\left(2\right)\)
* BĐT:
Ta có: \(y^2\ge0\Leftrightarrow-y^2\le0\)kết hợp với (2) ta có: \(x^2-4x-2\le0\)
* giải bpt bậc 2:
\(x^2-4x-2\le0\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{6}-2\right)\left(x+\sqrt{6}-2\right)\le0\Leftrightarrow2-\sqrt{6}\le x\le2+\sqrt{6}\)
* Biến đổi tương đương bpt:
\(2-\sqrt{6}\le x\le2+\sqrt{6}\Leftrightarrow10-4\sqrt{6}\le4x+2\le10+4\sqrt{6}\)
Kết hợp với (1) ta có \(10-4\sqrt{6}\le x^2+y^2\le10+4\sqrt{6}\left(\text{đ}pcm\right)\)
TT
0
5 tháng 11 2017
Phân tích cái trên thành hằng đẳng thức bậc 2 là đc, tìm ra x;y;z rồi thay vào M
5 tháng 11 2017
làm rõ ra cho tớ được không? Không hiểu sao tớ phân tích không ra :((
23 tháng 5 2021
Có \(\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}}=\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x+y+2z}}\)\(=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(x+y+2z\right)}}\)\(\le\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}\) (theo bunhia dưới mẫu)\(\le\dfrac{2\sqrt{xy}}{4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}\right)\)
Tương tự cũng có:
\(\sqrt{\dfrac{yz}{y+z+2x}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)
\(\sqrt{\dfrac{zx}{z+x+2y}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{z}+\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)\)
Cộng vế với vế ta được:
\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)\)
\(\Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{9}\)