Question

[Phạm Thùy Linh]

Cho đường tròn (O;R) và 1 điểm A ở ngoài đường tròm và 1 điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB và MC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm).Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.

a, CMR: OA.OB không đổi.

b, CMR: H di động trên 1 đường tròn cố định.

c, Cho biết OA=2R hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

[tgfyuvy]

a ta có \(\Delta\)OHK đồng dạng \(\Delta\)OAM \(\Rightarrow\)\(\frac{OK}{OM}\)=\(\frac{OH}{OA}\)\(\Rightarrow\)OK.OA=OH.OM

OM\(\perp\)BC\(\Leftrightarrow\)OC=OB NÊN O\(\in\)Đường trung trực của BC

MC=MB\(\Leftrightarrow\)M\(\in\)Đường trung trực của BC \(\Rightarrow\)OM\(\perp\)BC

XÉT \(\Delta\)OCM vuông tại C CH\(\perp\)OM\(\Rightarrow\)OC²=OH.OM \(\Rightarrow\)OK.OA ko đổi

Answer 2

[tgfyuvy]

a, tam giác 0HK đồng dạng với 0AM

0K/0M = 0H / 0A

nên 0K .0A = 0H.0M

em chúng minh 0M vuông góc với BC

0C = 0B nên 0 thuộc đường trung trực của BC
MC = MB nên M thuộc trung trực của BC
nên 0M là trung trực của BC
nên 0M vuông góc với BC tại H

tam giác 0CM vuông tại C , CH vuông góc với 0M

nên 0C^2 = 0H, 0M

nên không đổi nhé

Em chứng minh K không đổi đi

Theo câu a thầy chứng minh bên trên thì có:

OA.OK=OH.OM=OB^2=R^2

=>OA.OK=R^2=>OK=R^2/OA

Gọi I là trung điểm OK

tam giác OHK vuông tại H nên ta có:IH=1/2OK=R^2/2OA

mà O,A không đổi nên OA không đổi

=>IH không đổi

Hay H thuộc đường tròn tâm I bán kính R^2/2OA

với I là điểm nằm giữa O và A thỏa mãn OI=1/2OK=R^2/2OA

(đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng OA và đi qua O bán kính R^2/2OA

Câu c em làm như sau nhé

Diện tích tứ giác MBOC=OM.HC

nên để diện tích tứ giác MBOC min thì OM.HC Min

Xét:OM^2.HC^2=OM^2.(OC^2-OH^2)=OM^2.OC^2-OM^2.OH^2=OM^2.R^2-R^4 (Do OM.OH=R^2)

=>Để OM,HC min thì OM^2.R^2 min hay OM^2 Min

mà OM>=OA (do OM là cạnh huyền của tam giác vuông OAM)

=>OM min <=>OM=OA hay M trùng với A

Khi đó OM^2.HC^2=(2R)^2.R^2-R^4=3R^4

=>Diện tích tứ giác MBOC Min=căn 3 R^2 <=>M trùng với A