Cho a,b,c >0 Chứng minh \(\frac{b.c}{a}+\frac{a.c}{b}+\frac{a.b}{c}\ge a+b+c\)( Không dùng Cô si )
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
1
DN
26 tháng 12 2017
Với a,b,c>0 .
áp dụng bđt cosi,ta có:
b.c/a+c.a/b>_2c (1)
c.a/b+a.b/c>_2a (2)
a.b/c+b.c/a>_2b ((3)
Cộng (1),,(2),,(3) vế theo vế ,ta được:
2.(b.c/a+c.a/b+a.b/c)>_ 2.(a+b+c)
=>b.c/a+c.a/b+a.b/c>_ a+b+c (đpcm)
1 tháng 6 2018
Câu hỏi của Called love - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Ban jtrar My làm òi nhé !
AK
1 tháng 6 2018
Bạn tham khảo tại đây :
Câu hỏi của Nguyễn Anh Quân - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
~ Ủng hộ nhé
30 tháng 5 2019
Ta có
\(\frac{a^2}{a+b^2}=\frac{a^2+ab^2-ab^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{b\sqrt{a}}{2}\ge a-\frac{1}{4}b\left(a+1\right)\)
Khi đó
\(A\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(ab+bc+ac\right)\)
Mà \(ab+bc+ac\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)
=> \(A\ge\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)( ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
30 tháng 5 2019
\(a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{b\sqrt{a}}{2}\)
Do \(a+b^2\ge2b\sqrt{a}\)
\(a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{b\sqrt{a}}{2}\ge a-\frac{1}{4}b\left(a+1\right)\)
Do \(\sqrt{a}\le\frac{a+1}{2}\)
2 tháng 1 2018
Bài 4 nha
Áp dụng BĐT cô si ta có
\(\frac{1}{x^2}+x+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}.x.x}=3.\)
Tương tự với y . \(A\ge6\)dấu = xảy ra khi x=y=1
19 tháng 6 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\frac{4}{a+b}+\frac{1}{2}\frac{4}{b+c}+\frac{1}{2}\frac{4}{c+a}\)
\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
NN
6 tháng 4 2017
Giải:
Từ giả thiết ta có:
\(\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-\left(b+c\right)+bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow bc+1\ge b+c\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc+1}\le\frac{a}{b+c}\le\frac{a}{a+b}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b}{ac+1}\le\frac{b}{a+c}\le\frac{b}{a+b}\left(2\right)\)
\(\frac{c}{ab+1}\le c\le1\left(3\right)\)
Cộng theo vế \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta được:
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{a+b}{a+b}+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\) (Đpcm)
19 tháng 6 2020
CM theo bdt co-si
Áp dụng bdt Co - si cho cặp số dương a2/c và c
Ta có: \(\frac{a^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c}.c}=2a\)(1)
CMTT: \(\frac{b^2}{a}+a\ge2b\)(2)
\(\frac{c^2}{b}+b\ge2c\)(3)
Từ (1); (2) và (3) cộng vế theo vế, ta có:
\(\frac{a^2}{c}+c+\frac{b^2}{a}+a+\frac{c^2}{b}+b\ge2a+2b+2c\)
<=> \(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c\)(Đpcm)
19 tháng 6 2020
\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Áp dụng \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
\(\Leftrightarrow b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}{abc}\ge a+b+c\)
\(\frac{b.c}{a}+\frac{c.a}{b}+\frac{a.b}{c}\ge a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c