cho a,b>0, n \(\in\)N. CMR \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\le\frac{a^n+b^n}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
13 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Bernoulli ta có:
\(\left(\frac{2x}{x+y}\right)^n=\left(1+\frac{x-y}{x+y}\right)^n\ge1+\frac{n\left(x-y\right)}{x+y}\)
\(\left(\frac{2y}{x+y}\right)^n=\left(1-\frac{x-y}{x+y}\right)^n\ge1-\frac{n\left(x-y\right)}{x+y}\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:
\(\left(\frac{2x}{x+y}\right)^n+\left(\frac{2y}{x+y}\right)^n\ge2\) Hay \(\frac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\)
LT
3
29 tháng 9 2017
Ta thấy bđt đúng với n=1.
Giả sử bđt đúng với n=k. Ta cần c/m bđt đúng với n=k+1
Thật vậy ta có: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\le\frac{a^n+b^n}{2}\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{2}\right)^{k+1}\)\(\le\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{2}\right)^k.\frac{a+b}{2}\le\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\left(1\right)\)
Ta có \(VT\left(1\right)=\left(\frac{a+b}{2}\right)^k.\frac{a+b}{2}\le\frac{a^k+b^k}{2}.\frac{a+b}{2}=\frac{a^{k+1}+a^kb+ab^k+b^{k+1}}{4}\)\(\le\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\frac{a^{k+1}+ab^k+a^kb+b^{k+1}}{4}\ge0\Leftrightarrow\left(a^k-b^k\right)\left(a-b\right)\ge0\left(2\right)\)
Ta chứng minh (2): * Giả sử \(a\ge b\)và giả thiết cho \(a\ge-b\)\(\Leftrightarrow a\ge\left|b\right|\Leftrightarrow a^k\ge\left|b\right|^k\ge b^k\Rightarrow\left(a^k-b^k\right)\left(a-b\right)\ge0\)
* Giả sử \(a< b\)và giả sử \(-a< b\)\(\Leftrightarrow\left|a\right|^k< b^k\Leftrightarrow a^k< b^k\Leftrightarrow\left(a^k-b^k\right)\left(a-b\right)\ge0\)
Vậy bđt (2) luôn đúng \(\Rightarrowđpcm\)
24 tháng 7 2016
Đổi: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^n=\frac{\left(a+b\right)^n}{2^n}=\frac{a^n+b^n}{2^n}\)
Vì: \(a^n+b^n=a^n+b^n\)
\(2^n\ge2\)
=> \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\le\frac{a^n+b^n}{2}\)
20 tháng 5 2019
a) Bất đẳng thức đúng khi a = b = 2c
do đó \(\sqrt{c\left(2c-c\right)}+\sqrt{c\left(2c-c\right)}\le n\sqrt{2c.2c}\Leftrightarrow n\ge1\)
xảy ra khi n = 1
Thật vậy, ta có :
\(\sqrt{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}}+\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Vậy n nhỏ nhất là 1
b) Ta có : a + b = \(\sqrt{\left(a+b\right)^2}\le\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}=\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Áp dụng, ta được : \(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(n+1\right)},\sqrt{2}+\sqrt{n-1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{n}+\sqrt{1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)};\sqrt{n-1}+\sqrt{2}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
do đó : \(4\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\right)\le2n\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\le n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)