Question

[Nguyễn Huệ Lam]

Cho đường tròn (O) .BC là dây bất kì (BC=a (const)). Trên cung lớn BC lấy điểm A. H là trực tâm của tam giác ABC. K là chân đường cao kẻ từ A. Tìm giá trị lớn nhất của tích AH.AK

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

Gọi bán kính đường tròn là R.

Kẻ đường kính CO cắt đường tròn (O) tại J. Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ O đến BC. Theo tính chất đường kính dây cung : I là trung điểm BC.

Do độ lớn BC không đổi nên OI cũng không đổi. Ta tính được \(OI=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}\)

Do JC là đường kính nên \(\widehat{JAC}=\widehat{JBC}=90^o\)

Suy ra JA // BH; JB // AH.

Vậy tứ giác JAHB là hình bình hành. Ta có AH = JB.

Xét tam giác JBC có O là trung điểm JC, I là trung điểm BC nên OI là đường trung bình.

Vậy thì JB = 2OI.

Từ đó suy ra AH = 2 OI = \(2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}\)  (const)

Vậy thì \(AH.AK=2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.AK\)

AK lớn nhất khi A là điểm chính giữa cung BC.

Khi đó \(AK\equiv AI=3OI=3\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}\)

Vậy thì maxAH.AK \(=2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.3\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}=6\left(R^2-\frac{a^2}{4}\right)\)