cho a>b> 0 Chứng minh rằng \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 9 2023
Lời giải:
CM $\sqrt{a}+\sqrt{b}> \sqrt{a+b}$
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2> a+b$
$\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}> a+b$
$\Leftrightarrow \sqrt{ab}>0$ (luôn đúng với mọi $a>0, b>0$)
Ta có đpcm
--------------------
CM $|a|+|b|> |a+b|$. Cái này là = rồi chứ không phải > bạn nhé.
Khi $a>0; b>0$ thì $|a|=a; |b|=b\Rightarrow |a|+|b|=a+b$
$|a+b|=a+b$
$\Rightarrow |a|+|b|=|a+b|$
TN
28 tháng 7 2017
a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{2c}}}+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{c+\sqrt{a+\sqrt{2b}}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+Σ\sqrt{b+\sqrt{2c}}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
Đặt \(A^2=\left(\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
Đặt tiếp: \(B^2=\left(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le36\Rightarrow B\le6\)
\(\Rightarrow A^2\le3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\le3\cdot12=36\Rightarrow A\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
\(\le3\left(6+6\right)=3\cdot12=36\Rightarrow VT\le6=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=2\)
22 tháng 11 2021
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
Cần cm:
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\\ \Leftrightarrow a+b=a+b+2c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\\ \Leftrightarrow2c+2\sqrt{ab+ac+bc+c^2}=0\\ \Leftrightarrow2c+2\sqrt{c^2}=0\\ \Leftrightarrow2c+2\left|c\right|=0\\ \Leftrightarrow2c-2c=0\left(c< 0\right)\\ \Leftrightarrow0=0\left(luôn.đúng\right)\)
Vậy đẳng thức đc cm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 3 2021
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\) ; \(\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)
Cộng vế:
\(VT\ge\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" ko xảy ra nên \(VT>2\)
26 tháng 9 2021
Bài 1:
Ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
Do đó: \(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
hay \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cb}+\sqrt{ac}\)
TT
1
G
13 tháng 9 2017
Các vế đều dương nên bình phương hai vế ta được bất đẳng thức tương đương:
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2>a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)>a+b+c\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)>0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng với a, b, c > 0.
24 tháng 12 2018
\(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}=\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\)
\(=a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}\)
\(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\)
\(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< a-b\)(vì \(a>b>0\))
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}-a+b< 0\)
\(\Leftrightarrow b-\sqrt{ab}< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{b}-\sqrt{a}< 0\)
Bất đẳng thức cuối cùng đúng do \(a>b>0\)mà ta biến đổi tương đương nên bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng.