Question

[•๖ۣۜƓiȵ༄²ᵏ⁶]

Câu cuối nè ;-;

Answer 1

[Nguyễn Minh Đăng]

Nhận thấy vai trò a,b,c là như nhau nên giả sử a là số lớn nhất trong 3 số a,b,c

Khi đó ta xét 2 TH sau:

Nếu \(b\ge c\) thì khi đó: \(\hept{\begin{cases}a-b\ge0\\b-c\ge0\\c-a\le0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\le0\) 

Nếu \(b< c\) thì khi đó: \(\hept{\begin{cases}a-b>0\\b-c< 0\\c-a\le0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\ge0\)

Áp dụng Bđt Cauchy ta có: \(\left(b-c\right)\left(c-a\right)\le\frac{\left(b-c+c-a\right)^2}{4}=\frac{\left(b-a\right)^2}{4}=\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow P=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\le\left(a-b\right)\cdot\frac{\left(a-b\right)^2}{4}=\frac{\left(a-b\right)^3}{4}\)

Vì \(\hept{\begin{cases}b\ge0\\a\le1\end{cases}}\) nên \(P\le\frac{\left(a-b\right)^3}{4}\le\frac{\left(1-0\right)^3}{4}=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=0\\c=\frac{1}{2}\end{cases}}\) và các hoán vị

Qua hai TH trên vậy \(P_{max}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=0\\c=\frac{1}{2}\end{cases}}\) và các hoán vị của chúng