Question

[Phan thị]

Cho (O;R) và (Ơ':R) cắt nhau tại A,B. Vẽ hai bán kính CO của (O) và Ơ'D của (O') sao cho

OC || Ơ' D. (C,D nằm cùng phía với A so với 00').

1. Chứng minh rằng AK || BD.
2. Chứng minh rắng A là trực tâm ABCD.

Answer 1

[Nguyễn Duy Long]

1. Chứng minh AK song song với BD

• Ta có hai đường tròn (O; R) và (O'; R) cắt nhau tại hai điểm A, B.
• Vẽ hai bán kính OC của (O) và O'D của (O') sao cho OC // O'D, đồng thời điểm C và D nằm cùng phía với A so với đoạn OO'.
• Vì OC // O'D, nên các góc tạo bởi các đoạn thẳng liên quan sẽ có quan hệ song song và bằng nhau.
• Cụ thể, xét hai góc ∠COB và ∠D O'B, chúng là hai góc so le trong nên bằng nhau.
• Vì OB là điểm chung nên xét hai tam giác ABC và ABD: góc ở C và góc ở D bằng nhau, đồng thời các cạnh tương ứng có tỉ lệ thích hợp.
• Do đó, góc CAB bằng góc DBA, tức là hai góc đồng vị tạo bởi hai đường thẳng AK và BD.
• Vì hai góc này bằng nhau nên theo tính chất của hai đường thẳng và một đường cắt, ta suy ra AK song song với BD.

---

1. Chứng minh A là trực tâm tam giác BCD

• Điểm A là điểm chung của hai đường tròn (O) và (O').
• Vì CA là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), nên góc giữa CA và bán kính OC là 90 độ, tức ∠CAO = 90°.
• Tương tự, DA là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') nên ∠DAO' = 90°.
• Vì OC // O'D nên đoạn CD song song với đoạn OO', và đặc biệt CD vuông góc với AB.
• Từ đó ta có: AB vuông góc với CD, AC vuông góc với BD, và AD vuông góc với BC.
• Điều này có nghĩa là A là giao điểm của ba đường cao trong tam giác BCD, vì từ A ta kẻ các đường vuông góc với các cạnh đối diện.
• Do đó, A chính là trực tâm của tam giác BCD. 🤡
• Em 🤡🤡🤡xin tíck ạ !