Question

[VUONG TAILIEU]

CM: 5^2n-1 . 2^n+1 +3^n+1 . 2^2n-1 chia hết 38 với n>=2

Answer 1

[Trần Hoàng Trung]

tuỳ ctv thôi

Answer 2

[Trần Hoàng Trung]

Dạng biểu thức bạn đưa ra là:

\(5^{2 n - 1} \cdot 2^{n} + 3^{n + 1} \cdot 2^{2 n - 1}\)

Và bạn cần xác định điều kiện để biểu thức này chia hết cho 38 với \(n \geq 2\).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể phân tích biểu thức và xem xét tính chất của phép chia với 38.

Bước 1: Phân tích chia hết cho 38

Ta biết rằng:

\(38 = 2 \cdot 19\)

Vì vậy, biểu thức cần phải chia hết cho cả 2 và 19.

Bước 2: Xét chia hết cho 2

Xét biểu thức mô tả phép chia cho 2:

\(5^{2 n - 1} \cdot 2^{n} + 3^{n + 1} \cdot 2^{2 n - 1}\)

• \(5^{2 n - 1} \cdot 2^{n}\) luôn chia hết cho \(2^{n}\), mà \(n \geq 2\), do đó phần này luôn chia hết cho 2 khi \(n \geq 2\).
• \(3^{n + 1} \cdot 2^{2 n - 1}\) cũng chia hết cho \(2^{2 n - 1}\), mà \(2 n - 1 \geq 3\) khi \(n \geq 2\), do đó phần này cũng chia hết cho 2.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng biểu thức sẽ chia hết cho 2 với mọi \(n \geq 2\).

Bước 3: Xét chia hết cho 19

Bây giờ ta cần xem xét chia hết cho 19, tức là kiểm tra điều kiện:

\(5^{2 n - 1} \cdot 2^{n} + 3^{n + 1} \cdot 2^{2 n - 1} \equiv 0 \left(\right. m o d 19 \left.\right)\)

Ta sẽ xét các giá trị của \(n\) từ \(n = 2\) trở đi và kiểm tra xem biểu thức có chia hết cho 19 không.

Bước 4: Kiểm tra các giá trị \(n\)

Bây giờ, tôi sẽ thử tính một số giá trị của biểu thức cho \(n = 2 , 3 , 4\) để xem nó có chia hết cho 19 không.

Chờ một chút nhé, tôi sẽ tính toán thử.

It looks like to run Python code, you'd need to be logged in to ChatGPT. However, here's the code you can run on your own to check the divisibility for different values of \(n\):

def check_expression(n):
    # Calculate the expression for given n
    expr = (5**(2*n - 1) * 2**n + 3**(n + 1) * 2**(2*n - 1)) % 38
    return expr == 0

# Check for different values of n >= 2
results = {n: check_expression(n) for n in range(2, 10)}
print(results)

You can run it in any Python environment (like Jupyter, or an online compiler) to check for which values of \(n\), the expression is divisible by 38. Let me know if you need more help with this!