cho tam giác nhọn ABC, cmr \(S_{ABC}=\frac12ab\sin C=\frac12ac\sin B=\frac12bc\sin A\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BT
4 tháng 8 2016
đặt AB=c, BC=a, AC=c.
để chứng minh bđt trên ta sẽ áp dụng công thức: \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.a.b.sinC=\frac{1}{2}.b.c.sinA=\frac{1}{2}.a.c.sinB\)
ta có: \(\frac{sinA}{sinB+sinC}+\frac{sinB}{sinA+sinC}+\frac{sinC}{sinA+sinB}\)
\(=\frac{a.b.c.sinA}{a.b.c.sinB+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinB}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinC}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinB}\)
;\(=\frac{2S_{\Delta ABC}.a}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.c}+\frac{2S_{\Delta ABC}.b}{2.S_{\Delta ABC}.c+2.S_{\Delta ABC}.b}+\frac{2S_{\Delta ABC}.c}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.a}\)
\(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\).
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
nên \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1.\)
Ta sẽ chứng minh bđt phụ: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\)
Thật vậy: \(\left(1\right)\Leftrightarrow a^2< a\left(b+c\right)\Leftrightarrow a< b+c\)(đúng vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác).
tương tự: \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\).
suy ra: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\).
vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
17 tháng 6 2016
kẻ đường cao AH,BD,CK
ta có sinA=BD/AB=> BD=sinA.AB
sinB=CK/BC=> CK=sinB.BC
sinC=AH/AC=> AH=sinC.AC
ta có sin B=KC/BC=KC/a; sinB=AH/AB=AH/c
=> KC/a=AH/c
=> \(\frac{sinB.a}{a}=\frac{sinC.b}{c}\)
=> \(sinB=\frac{sinC.b}{c}\)
=> sinB.c=sinC.b
=> \(\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\left(1\right)\)
ta lại có sinC=AH/AC=AH/b; sinC=BD/BC=BD/a
=> AH/b=BD/a
=> \(\frac{sinC.b}{b}=\frac{sinA.c}{a}\)
=> sinC.a=sinA.c
=> \(\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}\left(2\right)\)
(1),(2)=> a/sinA=b/sinB=c/sinC (đpcm)
25 tháng 8 2019
a, \(\bigtriangleup{ABD} \sim \bigtriangleup{ACE}\) (g.g)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AE}\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}\)
\(\Rightarrow\) \(S_{ABC} \sim S_{ADE}\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = k^2 = ({\dfrac{AD}{AB}})^2\) = \(cos^2A\)
\(\Rightarrow\) \(S_{ADE} = S_{ABC} . cos^2A\) (đpcm)
b, \(S_{BCDE} = S_{ABC} - S_{ADE}\)
\(= S_{ABC} - S_{ABC} . cos^2A \)
= \(S_{ABC} (1-cos^2A)\)
= \(S_{BCDE} = S_{ABC} . sin^2A \) (đpcm)
PN
10 tháng 7 2016
Đã xảy ra lỗi rồi. Bạn thông cảm vì sai sót này.
Ta có:
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm
trong đó với , ta có:
Tương tự, ta có:
Cộng ba bất đẳng thức và , ta được:
Khi đó, ta chỉ cần chứng minh
Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh được quy về dạng sau: (bất đẳng thức Cauchy cho ba số )
Hay
Mà đã được chứng minh ở câu nên luôn đúng với mọi
Dấu xảy ra
Vậy,
4 tháng 7 2021
Bạn tử kẻ hình nhé .
a)\(\Delta ABD~\Delta ACE\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\)
\(\Rightarrow\Delta ADE~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=cos^2\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow S_{ADE}=S_{ABC}.cos^2\widehat{BAC}\)
b)Ta có : \(S_{BCDE}=S_{ABC}-S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ABC}.cos^2\widehat{BAC}=S_{ABC}\left(1-cos^2\widehat{BAC}\right)=S_{ABC}.sin^2\widehat{BAC}\)
Kẻ AD⊥BC tại D, BE⊥AC tại E
Xét ΔBAE vuông tại E có \(\sin BAE=\frac{BE}{AB}\)
=>\(BE=AB\cdot\sin BAC\)
Xét ΔABC có BE là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot BE\cdot AC=\frac12\cdot AB\cdot\sin BAC\cdot AC=\frac12\cdot b\cdot c\cdot\sin A\left(1\right)\)
Xét ΔBEC vuông tại E có \(\sin C=\frac{BE}{BC}\)
=>\(BE=BC\cdot\sin C\)
Xét ΔABC có BE là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot BE\cdot AC=\frac12\cdot BC\cdot\sin C\cdot AC=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot\sin C=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin C\) (2)
Xét ΔADB vuông tại D có \(\sin ABD=\frac{AD}{AB}\)
=>\(AD=AB\cdot\sin ABD=AD\cdot\sin ABC\)
Xét ΔABC có AD là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AD\cdot BC=\frac12\cdot AB\cdot\sin ABC\cdot BC=\frac12\cdot BA\cdot BC\cdot\sin ABC=\frac12\cdot c\cdot a\cdot\sin B\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(S_{ABC}=\frac12\cdot ab\cdot\sin C=\frac12\cdot ac\cdot\sin B=\frac12\cdot bc\cdot\sin A\)