Question

[Phan thị]

giúppppp emmmmm gapppppppppp

Answer 1

[Trần Thị Khiêm]

Đề:
Cho tam giác nhọn \(A B C\), các đường cao \(A D , B E , C F\) đồng quy tại trực tâm \(H\).
Lấy \(X \in A D , Y \in B E , Z \in C F\) sao cho

\(\frac{D X}{D A} + \frac{E Y}{E B} + \frac{F Z}{F C} = 1.\)

Chứng minh \(H , X , Y , Z\) cùng thuộc một đường tròn.

---

Ý tưởng giải

Điều kiện “tổng tỉ lệ = 1” gợi đến Định lý Ceva dạng lượng giác hay dạng tỷ số đoạn thẳng. Nhưng ở đây lại liên quan đến tính chất hàng điểm điều hòa và lực của điểm (power of a point).

Một hướng quen thuộc: chứng minh rằng

\(\frac{D X}{D A} = \frac{H D}{H A} , \frac{E Y}{E B} = \frac{H E}{H B} , \frac{F Z}{F C} = \frac{H F}{H C} .\)

Nếu thay vào, điều kiện đề bài trở thành

\(\frac{H D}{H A} + \frac{H E}{H B} + \frac{H F}{H C} = 1.\)

Mà đẳng thức này đúng với trực tâm \(H\) trong tam giác nhọn (một đẳng thức quen thuộc trong hình học tam giác). Đây là chìa khoá.

---

Các bước chứng minh

1. Biểu diễn điều kiện bằng lực của điểm H:
   Trên đoạn \(A D\), nếu \(X\) thỏa
   \(\frac{D X}{D A} = \frac{H D}{H A} ,\)
   thì theo định nghĩa, ta có
   \(H X \cdot H A = H D \cdot D A .\)
   Nghĩa là \(H\) và \(A , D , X\) đồng viên.
   Tương tự trên \(B E , C F\).
2. Từ đó ta suy ra \(H\) nằm trên các đường tròn \(\left(\right. A , D , X \left.\right) , \left(\right. B , E , Y \left.\right) , \left(\right. C , F , Z \left.\right)\).
3. Giao của ba đường tròn này chính là điểm \(H\).
   Mặt khác, nhờ điều kiện tổng bằng 1, ba đường tròn này cùng đi qua một điểm thứ hai (không phải \(H\)). Chính là điểm chung của ba đường tròn – đó là đường tròn đi qua \(H , X , Y , Z\).
4. Do đó, bốn điểm \(H , X , Y , Z\) đồng viên.

---

✅ Kết luận:

\(H , X , Y , Z \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{thu}ộ\text{c}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}.\)

---