Cho \(x^3+y^3+z^3=0\)
CMR: \(x^3y^3+2y^3z^3+3z^3x^3\le0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
PN
8
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 11 2017
Ta có :
\(\dfrac{1}{3x+3y+2z}=\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)+\left(2y+x+z\right)}\)(1)
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y+x+z}+\dfrac{1}{y+x+y+z}\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}\right)\right)\)
\(=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}\right)\)
tương tự với hai ông còn lại sau đó cộng lại ta được:
\(\Sigma\dfrac{1}{3x+3y+2z}\le\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}\)
3 tháng 8 2019
Đặt \(\left(xy;yz;zx\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)
Ta có : \(abc=xy\cdot yz\cdot zx=x^2y^2z^2\)
Giả thiết tương đương với \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)( cái này bạn tự chứng minh )
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)
Đến đây xét 2 trường hợp rồi giải ra là xong.
TN
26 tháng 10 2016
Ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có: \(\frac{1}{2x+3y+3z}=\frac{\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)^2}{2\left(x+y+z\right)+y+z}\le\frac{9}{32\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{16\left(y+z\right)}\)
Do đó:
\(\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{2y+3x+3z}+\frac{1}{2z+3x+3y}\)
\(\le\frac{9}{32\left(x+y+z\right)}\cdot3+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
\(\le\frac{9}{32\cdot\frac{3}{4}}+\frac{1}{16}\cdot6=\frac{3}{2}\)(Đpcm)
E
21 tháng 10 2019
Liên tục áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) và ta có:
\(\frac{1}{3x+3y+2x}=\frac{1}{2\left(x+y\right)+\left(x+y+2z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2\left(x+y\right)}+\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\right)\le\frac{1}{8\left(x+y\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
Chứng minh tương tự tạ có:
\(\frac{1}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{8\left(z+x\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{8\left(y+z\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\)
Suy ra \(VT\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{4}\)
18 tháng 12 2021
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge\dfrac{16}{3x+3y+2z}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{3x+2y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\right)\\ \Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{3x+2y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\right)=\dfrac{4}{16}\cdot6=\dfrac{3}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Ta có:
Điều kiện đề bài:
\(x^{3} + y^{3} + z^{3} = 0\)
Cần chứng minh:
\(x^{3} y^{3} + 2 y^{3} z^{3} + 3 z^{3} x^{3} \leq 0\)
Bước 1: Đặt ẩn mới
Đặt
\(X = x^{3} , Y = y^{3} , Z = z^{3}\)
Khi đó điều kiện trở thành:
\(X + Y + Z = 0\)
Và bất đẳng thức cần chứng minh là:
\(X Y + 2 Y Z + 3 Z X \leq 0\)
Bước 2: Thay \(Z = - X - Y\)
Ta có:
\(X Y + 2 Y \left(\right. - X - Y \left.\right) + 3 \left(\right. - X - Y \left.\right) X \leq 0\) \(X Y - 2 X Y - 2 Y^{2} - 3 X^{2} - 3 X Y \leq 0\)
Gom nhóm hệ số của \(X Y\):
\(\left(\right. 1 - 2 - 3 \left.\right) X Y - 2 Y^{2} - 3 X^{2} \leq 0\) \(- 4 X Y - 2 Y^{2} - 3 X^{2} \leq 0\)
Bước 3: Chuyển vế và biến đổi
Bất đẳng thức trên tương đương:
\(3 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2} \geq 0\)
Bước 4: Phân tích thành bình phương
Ta có:
\(3 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2} = \left(\right. X + Y \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. X + Y \left.\right)^{2} + X^{2} (\text{c} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{ki}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{tra}\&\text{nbsp};\text{l}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch})\)
Thực tế, ta viết lại:
\(3 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2} = \left(\right. X - Y \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. X + Y \left.\right)^{2}\)
Kiểm tra:
Cộng lại: \(X^{2} - 2 X Y + Y^{2} + 2 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2} = 3 X^{2} + 2 X Y + 3 Y^{2}\) → chưa khớp, vậy cần cách tách khác.
Bước 5: Cách khác – dùng định thức
Vì đây là biểu thức bậc hai đối với \(X , Y\), ta có:
\(3 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2}\)
Là dạng toàn phương khi:
\(\Delta = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = - 8 < 0\)
Hệ số \(a = 3 > 0\) nên biểu thức này luôn dương với mọi \(X , Y\) khác 0.
Bước 6: Kết luận
Do \(3 X^{2} + 4 X Y + 2 Y^{2} \geq 0\) luôn đúng, nên:
\(X Y + 2 Y Z + 3 Z X \leq 0\)
luôn đúng.
@Nguyễn Thị Thảo Quyên bạn dùng AI thế sao mà bạn ấy hiểu mà nếu dùng AI giải bài thì bạn ấy cũng làm đc mà nếu bạn biết làm thì hãy đăng câu trả lời lên với cả bạn cũng phải thêm chữ tham khảo ở cuối bài khi dùng AI giải