Question

[Dương Thanh Hương]

Tìm tất cả các số hữu tỉ dương x thỏa mãn:

a) x+1/x là số nguyên

b)x+1/x^2 là số nguyên

Answer 1

[Pencil]

a) \(\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}\left(x\in Q;x>0\right)\)

Nếu \(\frac{x+1}{x}\in Z\) ⇒ \(\frac{1}{x}\in Z\)

\(\) ⇒ \(x\inƯ\left(1\right)\) ⇒ \(x\in\left\lbrace-1;1\right\rbrace\)

Mà \(x\) là số hữu tỉ dương\(\)

⇒ \(x=1\)

Vậy \(x=1\)

b) \(x+\frac{1}{x^2}\in Z\)

Giả sử \(x=\frac{a}{b}\left(\frac{a}{b}\right.\) là một phân số tối giản, \(ƯCLN\left(a;b\right)=1)\)

⇒ \(x+\frac{1}{x^2}=\frac{a}{b}+\frac{1}{\frac{a^2}{b^2}}=\frac{a}{b}+\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^3+b^3}{b.a^2}\left(1\right)\)

Do \(x+\frac{1}{x^2}\in Z\) ⇒ \(\frac{a^3+b^3}{b.a^2}\in Z\)

⇒ \(\left(a^3+b^3\right)\) ⋮ \(\left(b.a^2\right)\)

⇒ \(\left(a^3+b^3\right)\) ⋮ \(a^2\)

Mà \(a^3\) ⋮ \(a^2\) ⇒ \(b^3\) ⋮ \(a^2\)

Ta có \(a\) và \(b\) là \(2\) số nguyên tố cùng nhau.

Nếu \(a>1\) ⇒ \(a\) sẽ có ít nhất 1 ước nguyên tố.

Gọi ước nguyên tố đó là: \(k\)

Mà \(b^3\) ⋮ \(a^2\) ⇒ \(b^3\) ⋮ \(k\) ⇒ \(b\) ⋮ \(k\) (do \(k\) là số nguyên tố)

Mà \(a\) và \(b\) là \(2\) số nguyên tố cùng nhau nên không tồn tại ước chung nguyên tố là \(k\)

⇒ \(\)\(Ư\left(a\right)=\left\lbrace-1;1\right\rbrace\)

⇒ \(a\in\left\lbrace-1;1\right\rbrace\)

Khi \(a=1\)

\(\left(1\right)\) ⇒ \(\frac{1+b^3}{b}\)

Vì \(\frac{1+b^3}{b}\in Z\) ⇒ \(\left(1+b^3\right)\) ⋮ \(b\)

Mà \(b^3\) ⋮ \(b\) ⇒ \(1\) ⋮ \(b\)

⇒ \(b\inƯ\left(1\right)\) ⇒ \(b\in\left\lbrace-1;1\right\rbrace\)

Do ta giả sử \(x=\frac{a}{b}\) mà \(x\in Q;x>0\) (do \(x\) là số hữu tỉ dương theo đề bài)

⇒ \(a;b\) cùng dấu

⇒ \(\left(a;b\right)\in\left\lbrace\left(-1;-1\right);\left(1;1\right)\right\rbrace\)

⇒ \(x=1\)

Vậy \(x=1\) \(\)