Question

[Lê Minh Tấn_VL]

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình \(9 x^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 41\)

Answer 1

[Trịnh Đông Hùng]

Chúng ta cần tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

\(9 x^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 41\)

Bước 1: Đưa phần chứa y về dạng hoàn chỉnh bình phương

Xét phần liên quan đến y:

\(4 y^{2} + 8 y\)

Ta có thể viết lại như sau:

\(4 \left(\right. y^{2} + 2 y \left.\right)\)

Hoàn thiện bình phương trong ngoặc:

\(y^{2} + 2 y = y^{2} + 2 y + 1 - 1 = \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} - 1\)

Nên:

\(4 \left(\right. y^{2} + 2 y \left.\right) = 4 \left[\right. \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} - 1 \left]\right. = 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} - 4\)

Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu

\(9 x^{2} + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} - 4 = 41\) \(9 x^{2} + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45\)

Chia cả hai vế cho 1 để dễ quan sát:

\(9 x^{2} + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45\)

Tiếp theo, để tìm các nghiệm nguyên, ta xem xét các giá trị có thể của \(x\) sao cho biểu thức này là phù hợp.

---

Bước 3: Nhân chia để dễ phân tích

Chia cả hai vế cho 45:

\(\frac{9 x^{2}}{45} + \frac{4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2}}{45} = 1\)

Hay:

\(\frac{x^{2}}{5} + \frac{\left(\right. y + 1 \left.\right)^{2}}{\frac{45}{4}} = 1\)

Tuy nhiên, để dễ tìm nghiệm nguyên, ta có thể xét từng giá trị của \(x\) và \(y\) sao cho phù hợp.

---

Bước 4: Tìm các giá trị của \(x\)

Vì \(9 x^{2} \leq 45 \Rightarrow x^{2} \leq 5\), nên:

\(x^{2} \in \left{\right. 0 , 1 , 4 \left.\right} \Rightarrow x \in \left{\right. - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 \left.\right}\)

Thử từng giá trị của \(x\):

Khi \(x = 0\):

Thay vào phương trình:

\(9 \left(\right. 0 \left.\right)^{2} + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45 \Rightarrow 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45\) \(\left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = \frac{45}{4} = 11.25\)

Không phải số bình phương nguyên, bỏ qua.

Khi \(x = \pm 1\):

\(9 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45 \Rightarrow 9 + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45\) \(4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 36 \Rightarrow \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 9\) \(y + 1 = \pm 3 \Rightarrow y = 2 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; y = - 4\)

Khi \(x = \pm 2\):

\(9 \left(\right. 2 \left.\right)^{2} + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45 \Rightarrow 36 + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45\) \(4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 9 \Rightarrow \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = \frac{9}{4} = 2.25\)

Không phải số bình phương nguyên. Bỏ qua.

---

Bước 5: Tổng kết các nghiệm

Các nghiệm nguyên thỏa mãn:

• Khi \(x = \pm 1\):
• • \(y = 2\) : \(x = 1\), \(y = 2\)
  • \(y = - 4\) : \(x = 1\), \(y = - 4\)
• Khi \(x = 0\) hoặc \(x = \pm 2\), không có nghiệm nguyên.

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

\(\boxed{\left{\right. x = \pm 1 \\ y = 2 \text{ho}ặ\text{c} y = - 4}\)

Cụ thể:

• \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 1 , 2 \left.\right)\)
• \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 1 , - 4 \left.\right)\)
• \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. - 1 , 2 \left.\right)\)
• \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. - 1 , - 4 \left.\right)\)