Bài 16. Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ;Chứng minh rằng\(\frac{a^3-2b^3+c^3}{a+b+c}\) là số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
13 tháng 7 2021
Ta có: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\)
\(>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
Tương tự ta cũng chứng minh được \(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}>1\)
mà \(\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\right)+\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}\right)\)
\(=\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}=4\)
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\)là số nguyên
do đó \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}+1-\frac{c}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b}{a+b}-\frac{b}{b+c}+\frac{d}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(c+d\right)\left(d+a\right)-d\left(a+b\right)\left(b+c\right)=0\)(vì \(a\ne c\))
\(\Leftrightarrow\left(b-d\right)\left(ac-bd\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ac=bd\)(vì \(b\ne d\))
Khi đó \(abcd=ac.ac=\left(ac\right)^2\)là số chính phương.
25 tháng 2 2017
Bạn đưa về như họ là đc , mk thử giúp bạn
(2a + b)/(a+b) = (a+a+b)/(a+b) = a/(a+b) + (a+b)/(a+b) = a/(a+b) + 1
Ở câu hỏi tương tự người ta đưa về dạnh này
27 tháng 10 2019
Ta có :
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\)
\(\Rightarrow1-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}+1-\frac{c}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b}{a+b}-\frac{b}{b+c}+\frac{d}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(c+d\right)\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\left(b+c\right)=0\)( vì c khác a )
\(\Leftrightarrow abc-acd+bd^2-b^2d=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-d\right)\left(ac-bd\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ac-bd=0\)
\(\Leftrightarrow ac=bd\)
\(\Rightarrow abcd=\left(ac\right)\left(bd\right)=\left(ac\right)^2\)
Vậy ......................................
2 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT cô si với hai số không âm, Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=1\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\forall b,c\ge0\)
\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\b=c\\a=b+c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
2 tháng 1 2018
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)
Áp dụng BĐT Cô si với 2 số dương ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2,\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2,\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)(đúng)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)(do a+b+c=1)
1 tháng 1 2021
Đặt bđt là (*)
Để (*) đúng với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn :
\(a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)thì \(a=b=c=1\) cũng thỏa mãn (*)
\(\Rightarrow4\le\sqrt[n]{\left(n+2\right)^2}\)
Mặt khác: \(\sqrt[n]{\left(n+2\right)\left(n+2\right).1...1}\le\frac{2n+4+\left(n-2\right)}{n}=3+\frac{2}{n}\)
Hay \(n\le2\)
Với n=2 . Thay vào (*) : ta cần CM BĐT
\(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+c+a\right)^2}+\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\le\frac{3}{16}\)
Với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn: \(a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Vì: \(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{\left(2b+a+c\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)};\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+c\right)\left(c+b\right)}\)
Ta cần CM:
\(\frac{a+b+c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{3}{16}\Leftrightarrow16\left(a+b+c\right)\le6\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Ta có BĐT: \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Và: \(3\left(ab+cb+ac\right)\le3abc\left(a+b+c\right)\le\left(ab+cb+ca\right)^2\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\)
=> đpcm
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c
=> số nguyên dương lớn nhất : n=2( thỏa mãn)
- Ta có \(a b = c d\), suy ra \(a = \frac{c d}{b}\). Thay \(a\) vào biểu thức cần chứng minh:
\(\frac{\left(\right. \frac{c d}{b} \left.\right)^{3} - 2 b^{3} + c^{3}}{\frac{c d}{b} + b + c} = \frac{\frac{c^{3} d^{3}}{b^{3}} - 2 b^{3} + c^{3}}{\frac{c d + b^{2} + b c}{b}} = \frac{c^{3} d^{3} - 2 b^{6} + c^{3} b^{3}}{b^{2} \left(\right. c d + b^{2} + b c \left.\right)}\) - Để biểu thức trên là một số nguyên, ta cần chứng minh rằng tử chia hết cho mẫu. Ta có thể viết lại tử như sau: \(c^{3} d^{3} - 2 b^{6} + c^{3} b^{3} = c^{3} \left(\right. d^{3} + b^{3} \left.\right) - 2 b^{6}\) Và mẫu là: \(b^{2} \left(\right. c d + b^{2} + b c \left.\right)\) Ta lại có \(c d = a b\), nên mẫu trở thành: \(b^{2} \left(\right. a b + b^{2} + b c \left.\right) = b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)\) - Vậy biểu thức ban đầu trở thành: \(\frac{c^{3} \left(\right. d^{3} + b^{3} \left.\right) - 2 b^{6}}{b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)}\) - Ta cần chứng minh \(c^{3} \left(\right. d^{3} + b^{3} \left.\right) - 2 b^{6}\) chia hết cho \(b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)\).- Vì \(a b = c d\), ta có \(d = \frac{a b}{c}\). Thay \(d\) vào biểu thức trên:
\(\frac{c^{3} \left(\right. \left(\right. \frac{a b}{c} \left.\right)^{3} + b^{3} \left.\right) - 2 b^{6}}{b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)} = \frac{c^{3} \left(\right. \frac{a^{3} b^{3}}{c^{3}} + b^{3} \left.\right) - 2 b^{6}}{b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)} = \frac{a^{3} b^{3} + c^{3} b^{3} - 2 b^{6}}{b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)}\) \(= \frac{b^{3} \left(\right. a^{3} + c^{3} - 2 b^{3} \left.\right)}{b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)} = \frac{a^{3} + c^{3} - 2 b^{3}}{a + b + c}\) - Vậy ta cần chứng minh \(\frac{a^{3} + c^{3} - 2 b^{3}}{a + b + c}\) là một số nguyên. Ta có thể viết lại như sau: \(\frac{a^{3} + c^{3} - 2 b^{3}}{a + b + c} = \frac{a^{3} + c^{3} + b^{3} - 3 b^{3}}{a + b + c} = \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 b^{3}}{a + b + c}\) - Ta biết rằng \(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a \left.\right)\). Trong trường hợp này, ta có: \(\frac{a^{3} + c^{3} - 2 b^{3}}{a + b + c} = \frac{a^{3} + c^{3} + b^{3} - 3 b^{3}}{a + b + c}\) - Để chứng minh biểu thức này là một số nguyên, ta cần chứng minh \(a^{3} + c^{3} - 2 b^{3}\) chia hết cho \(a + b + c\).- Ta có thể viết lại \(a^{3} + c^{3} - 2 b^{3} = \left(\right. a^{3} - b^{3} \left.\right) + \left(\right. c^{3} - b^{3} \left.\right) = \left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a^{2} + a b + b^{2} \left.\right) + \left(\right. c - b \left.\right) \left(\right. c^{2} + c b + b^{2} \left.\right)\).
- Để biểu thức này chia hết cho \(a + b + c\), cần có một mối liên hệ cụ thể giữa \(a , b , c\). Tuy nhiên, với thông tin \(a b = c d\), ta chưa thể suy ra điều này một cách trực tiếp.