Question

[Phương Uyên Đỗ Trần]

cho phân số 2a13/b. Hãy chứng minh rằng đó là 1 phân số tối giản

Answer 1

[🥇Đồng Bách Tùng亗]

Để chứng minh rằng phân số \( \frac{2a13}{b} \) là **phân số tối giản**, ta cần hiểu rõ hai điều:

1. **Phân số tối giản** là phân số có tử số và mẫu số **không có ước chung nào lớn hơn 1**, hay nói cách khác là **ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử và mẫu là 1**.

2. Ở đây, tử số là số **2a13**, tức là một **số có 4 chữ số**, trong đó chữ số hàng nghìn là 2, hàng trăm là chữ số chưa biết \( a \), hàng chục là 1 và hàng đơn vị là 3.

---

### Bước 1: Biểu diễn tử số

Ta có thể viết:

\[

2a13 = 2000 + 100a + 10 + 3 = 2000 + 100a + 13

\Rightarrow 2a13 = 2013 + 100a

\]

---

### Bước 2: Giả sử phân số \( \frac{2a13}{b} \) chưa tối giản

Nghĩa là tồn tại một số \( d > 1 \) sao cho:

- \( d \mid 2a13 \)

- \( d \mid b \)

Vậy để phân số tối giản, ta cần chứng minh rằng **ƯCLN(2013 + 100a, b) = 1**

Tuy nhiên đề bài chưa cho rõ giá trị của **a** hay **b**, vì vậy ta có thể hiểu rằng:

- **a là chữ số** (tức là \( 0 \leq a \leq 9 \))

- **b là một số nguyên dương nào đó**

Mà để chứng minh phân số **luôn tối giản với mọi b**, là không khả thi (vì ví dụ b = 2a13 thì phân số bằng 1, rõ ràng không tối giản). Do đó, để chứng minh phân số này **luôn là tối giản**, **cần thêm giả thiết**.

---

### Giả sử đầy đủ:

Nếu đề bài là:

> Cho phân số \( \frac{2a13}{b} \), với \( a \) là chữ số sao cho **ƯCLN(2a13, b) = 1**. Chứng minh phân số là tối giản.

Thì rõ ràng phân số đó là tối giản **theo định nghĩa**.

---

### Hoặc nếu là bài cụ thể như sau:

> Cho phân số \( \frac{2413}{b} \). Chứng minh phân số là tối giản.

Ta có:

- 2413 là số lẻ, nên không chia hết cho 2.

- Tổng các chữ số: \( 2 + 4 + 1 + 3 = 10 \) không chia hết cho 3 hay 9.

- Không chia hết cho 5.

- 2413 là số nguyên tố (nếu kiểm tra thấy không chia hết cho số nguyên tố nào nhỏ hơn \( \sqrt{2413} \)).

Vậy 2413 là **số nguyên tố**, nên nó chỉ có ước là 1 và chính nó.

Vì thế nếu \( b \ne 2413 \), thì phân số \( \frac{2413}{b} \) là tối giản.

---

👉 **Tóm lại**: Để chứng minh \( \frac{2a13}{b} \) là phân số tối giản, ta cần:

- Có thêm điều kiện về \( a \) và \( b \)

- Hoặc chứng minh \( 2a13 \) là **số nguyên tố**, khi đó phân số sẽ là tối giản với mọi \( b \ne 2a13 \)

---