Question

[Nguyễn Thanh Thảo]

Tìm chữ số tận cùng của S, biết:

S=1+1x2+1x2x3+1x2x3x4+…+1x2x3x…x119x200

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Do tổng \(1\times2\times3\times4\times5+...+1\times2\times3\times...\times200\) có các số hạng đều có tận cùng bằng 0

Nên chữ số tận cùng của S giống chữ số tận cùng của tổng:

\(1+1\times2+1\times2\times3+1\times2\times3\times4\)

Mà \(1+1\times2+1\times2\times3+1\times2\times3\times4=33\) có tận cùng là 3

Nên S có tận cùng là 3

Answer 2

[Trần Đức Anh]

S=1+(1×2)+(1×2×3)+(1×2×3×4)+⋯+(1×2×3×⋯×119×200)

Ta sẽ viết ra vài số hạng đầu và xem xét chữ số tận cùng của chúng:

• Số hạng thứ nhất: 1. Chữ số tận cùng là 1.
• Số hạng thứ hai: 1×2=2. Chữ số tận cùng là 2.
• Số hạng thứ ba: 1×2×3=6. Chữ số tận cùng là 6.
• Số hạng thứ tư: 1×2×3×4=24. Chữ số tận cùng là 4.
• Số hạng thứ năm: 1×2×3×4×5=120. Chữ số tận cùng là 0.
• Số hạng thứ sáu: 1×2×3×4×5×6=720. Chữ số tận cùng là 0.

Nhận thấy rằng từ số hạng thứ năm trở đi, mỗi số hạng đều chứa tích của 2 và 5, do đó tích của chúng sẽ chia hết cho 10. Điều này có nghĩa là tất cả các số hạng từ số hạng thứ năm trở đi đều có chữ số tận cùng là 0.

Vậy, để tìm chữ số tận cùng của S, ta chỉ cần cộng chữ số tận cùng của các số hạng từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ tư:

Chữ số tận cùng của S = (chữ số tận cùng của 1) + (chữ số tận cùng của 2) + (chữ số tận cùng của 6) + (chữ số tận cùng của 24) + (chữ số tận cùng của các số hạng còn lại có chữ số tận cùng là 0)

Chữ số tận cùng của S = 1+2+6+4+0+0+⋯+0

Chữ số tận cùng của S = 1+2+6+4=13

Vậy, chữ số tận cùng của S là 3.