Question

[lê phương anh]

Tìm hệ số a:

\(3x^3+10x^2+a-5\) chia hết cho \(3x+1\)

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

Cho 3x + 1 = 0

3x = -1

Để đa thức đã cho chia hết cho 3x + 1 thì nghiệm của đa thức 3x + 1 cũng là nghiệm của đa thức đã cho

  

1 + a - 5 = 0

a - 4 = 0

a = 4

Vậy a = 4 thì đa thức đa cho chia hết cho 3x + 1

Answer 2

[Bùi Xuân An]

Để tìm hệ số \(a\) sao cho biểu thức \(3 x^{3} + 10 x^{2} + a - 5\) chia hết cho \(3 x + 1\), ta sẽ sử dụng phương pháp chia đa thức.

Ta cần tìm giá trị của \(a\) sao cho khi chia \(3 x^{3} + 10 x^{2} + a - 5\) cho \(3 x + 1\), phần dư bằng 0.

Định lý phần dư cho biết rằng khi chia một đa thức \(f \left(\right. x \left.\right)\) cho một đa thức bậc nhất \(x - r\), phần dư là \(f \left(\right. r \left.\right)\). Trong trường hợp này, \(3 x + 1 = 0\) khi \(x = - \frac{1}{3}\). Vậy ta sẽ thay \(x = - \frac{1}{3}\) vào biểu thức \(3 x^{3} + 10 x^{2} + a - 5\) và yêu cầu kết quả bằng 0.

Ta thay \(x = - \frac{1}{3}\) vào biểu thức \(3 x^{3} + 10 x^{2} + a - 5\):

\(f \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right) = 3 \left(\left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right)\right)^{3} + 10 \left(\left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right)\right)^{2} + a - 5\)

Tính từng phần:

\(3 \left(\left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right)\right)^{3} = 3 \times \left(\right. - \frac{1}{27} \left.\right) = - \frac{1}{9}\) \(10 \left(\left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right)\right)^{2} = 10 \times \frac{1}{9} = \frac{10}{9}\)

Do đó:

\(f \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right) = - \frac{1}{9} + \frac{10}{9} + a - 5\) \(f \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right) = \frac{9}{9} + a - 5 = 1 + a - 5 = a - 4\)

Để \(3 x^{3} + 10 x^{2} + a - 5\) chia hết cho \(3 x + 1\), ta yêu cầu phần dư phải bằng 0:

\(a - 4 = 0\)

Giải phương trình này ta có:

\(a = 4\)

Kết luận

Hệ số \(a\) là \(\boxed{4}\).