Question

[Đào Thị Nguyên Minh]

\(x^4+x^3+6x^2-40x+32=0\)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

\(x^4+x^3+6x^2-40x+32=0\)

=>\(x^4-x^3+2x^3-2x^2+8x^2-8x-32x+32=0\)

=>\(x^3\left(x-1\right)+2x^2\left(x-1\right)+8x\left(x-1\right)-32\left(x-1\right)=0\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x^3+2x^2+8x-32\right)=0\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x^3-2x^2+4x^2-8x+16x-32\right)=0\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+4x+16\right)=0\)

mà \(x^2+4x+16=\left(x+2\right)^2+12>=12>0\forall x\)

nên (x-1)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Answer 2

[Ledanhhoangbao]

Bước 1: Sử dụng phương pháp thử nghiệm với các giá trị của \(x\)

Chúng ta có thể thử các giá trị nhỏ của \(x\) để xem liệu chúng có là nghiệm của phương trình hay không. Một trong những phương pháp là thử nghiệm các ước của hằng số tự do (32 trong trường hợp này), vì theo định lý căn của phương trình đa thức, các nghiệm có thể là các ước của hằng số tự do chia cho các ước của hệ số đầu (ở đây là 1).

Các ước của 32 là: \(\pm 1 , \pm 2 , \pm 4 , \pm 8 , \pm 16 , \pm 32\).

Bước 2: Thử nghiệm với \(x = 2\)

Thử thay \(x = 2\) vào phương trình:

\(2^{4} + 2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 40 \cdot 2 + 32 = 16 + 8 + 24 - 80 + 32 = 0.\)

Vậy, \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình.

Bước 3: Phân tích đa thức

Vì \(x = 2\) là một nghiệm, ta sẽ thực hiện chia đa thức \(x^{4} + x^{3} + 6 x^{2} - 40 x + 32\) cho \(x - 2\) bằng phương pháp chia đa thức.

Chia \(x^{4} + x^{3} + 6 x^{2} - 40 x + 32\) cho \(x - 2\), ta sẽ được:

\(x^{4} + x^{3} + 6 x^{2} - 40 x + 32 = \left(\right. x - 2 \left.\right) \left(\right. x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 16 \left.\right) .\)

Bước 4: Giải phương trình bậc 3

Tiếp theo, ta cần giải phương trình bậc ba \(x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 16 = 0\).

Chúng ta lại thử nghiệm các giá trị nhỏ của \(x\). Thử với \(x = - 4\):

\(\left(\right. - 4 \left.\right)^{3} + 3 \left(\right. - 4 \left.\right)^{2} + 12 \left(\right. - 4 \left.\right) - 16 = - 64 + 48 - 48 - 16 = 0.\)

Vậy, \(x = - 4\) là một nghiệm của phương trình.

Bước 5: Phân tích tiếp

Chia \(x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 16\) cho \(x + 4\) bằng phương pháp chia đa thức, ta được:

\(x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 16 = \left(\right. x + 4 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 4 \left.\right) .\)

Bước 6: Giải phương trình bậc 2

Ta cần giải phương trình bậc hai \(x^{2} - x + 4 = 0\). Dùng công thức nghiệm phương trình bậc hai:

\(x = \frac{- \left(\right. - 1 \left.\right) \pm \sqrt{\left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2} .\)

Vì \(\sqrt{- 15}\) là một số ảo, nên phương trình này có hai nghiệm phức:

\(x = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2} .\)

Kết luận:

Các nghiệm của phương trình \(x^{4} + x^{3} + 6 x^{2} - 40 x + 32 = 0\) là:

\(x = 2 , x = - 4 , x = \frac{1 + i \sqrt{15}}{2} , x = \frac{1 - i \sqrt{15}}{2} .\)