Question

[Sơn Tùng Nguyễn]

Câu 1. Biết a +1 và 2a +1 đồng thời là các số chính phương. Chứng minh rằng a chia hết cho 12.

Answer 1

[Nguyễn Việt Hoàn]

Câu 1: Biết a + 1 và 2a + 1 đồng thời là các số chính phương. Chứng minh rằng a chia hết cho 12.

• Phân tích:
• • Đặt a + 1 = x² và 2a + 1 = y² (với x, y là số nguyên dương).
  • Suy ra: 2(a + 1) = 2x² => 2a + 2 = 2x²
  • Lại có: 2a + 1 = y²
  • Trừ vế theo vế, ta được: 2x² - y² = 1
  • (√2x - y)(√2x + y) = 1
  • Vì x, y là số nguyên dương, nên √2x - y và √2x + y là số nguyên.
  • Để tích của chúng bằng 1, thì √2x - y = 1 và √2x + y = 1 hoặc √2x - y = -1 và √2x + y = -1.
  • Giải hệ phương trình, ta được x = 1 và y = 1 hoặc x = -1 và y = -1.
  • Do x, y là số nguyên dương, nên x = 1 và y = 1.
  • Khi đó, a + 1 = 1 => a = 0 (không thỏa mãn a là số nguyên dương).
• Kết luận: Đề bài sai.

Lưu ý: Bài toán này có thể sai đề, vì không tồn tại số nguyên dương a thỏa mãn điều kiện đề bài.