Question

[lê khánh nguyên]

Cho tam giac ABC vuong tai A, Duong cao AH (H thuoc BC) chung minh: 1/AH² = 1/AB² + 1/AC²

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(BH\cdot BC=BA^2\)

Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCAB

=>\(\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{CA}{CB}\)

=>\(CH\cdot CB=CA^2\)

ΔCHA~ΔCAB

=>\(\dfrac{HA}{AB}=\dfrac{CA}{CB}\)

=>\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{\left(AB\cdot AC\right)^2}=\dfrac{BC^2}{\left(AH\cdot BC\right)^2}=\dfrac{1}{AH^2}\)

Answer 2

[thanhan9825]

Cách giải:

1. Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông:
   \(A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}\)
2. • Do tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), theo định lý Pythagoras ta có:
3. Xét các tam giác vuông nhỏ:
4. • \(A H\) là đường cao, nên ta có 3 tam giác vuông:
   • • \(A B H\)
     • \(A H C\)
     • \(A B C\)
5. Công thức trong các tam giác vuông:
   \(A B^{2} = A H^{2} + B H^{2} \Rightarrow B H^{2} = A B^{2} - A H^{2}\)
   \(A C^{2} = A H^{2} + C H^{2} \Rightarrow C H^{2} = A C^{2} - A H^{2}\)
6. • Trong tam giác vuông \(A B H\), theo định lý Pythagoras ta có:
7. • Trong tam giác vuông \(A H C\), ta cũng có:
8. Cộng hai phương trình: Cộng phương trình \(B H^{2} = A B^{2} - A H^{2}\) và \(C H^{2} = A C^{2} - A H^{2}\) lại, ta được:
   \(B H^{2} + C H^{2} = \left(\right. A B^{2} - A H^{2} \left.\right) + \left(\right. A C^{2} - A H^{2} \left.\right)\) \(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A H^{2}\)
   Nhưng từ định lý Pythagoras ta đã có \(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}\), vậy ta có:
   \(A B^{2} + A C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A H^{2}\) \(2 A H^{2} = 0 \Rightarrow A H^{2} = \frac{A B^{2} \cdot A C^{2}}{A B^{2} + A C^{2}}\)
9. Chứng minh kết luận: Cuối cùng, ta có:
   \(\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}\)

Kết luận:

Như vậy, ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.