CMR với mọi a,b,c ta có
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>= 3(a+b+c)^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
0
H
0
NT
0
11 tháng 10 2018
Tự cm bđt phụ: \(\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\le\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\) Với x;y>0
Áp dụng ta có \(\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2+a\left(b+c\right)}\le\frac{b^2}{b^2+ab}+\frac{c^2}{c^2+ab}=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\)
Tương tự có đpcm
15 tháng 4 2019
1. (a+b)^2 ≥ 4ab
<=> a2+2ab+b2≥ 4ab
<=> a2+2ab+b2-4ab≥ 0
<=> a2-2ab+b2≥ 0
<=> (a-b)^2 ≥ 0 ( luôn đúng )
15 tháng 4 2019
2. a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
<=> (a^2- 2ab+b^2) + (b^2-2bc+c^2) + (c^2-2ca+a^2) ≥ 0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0 ( luôn đúng)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 5 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)
Vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)
Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương
Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
NH
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2022
Do \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
Nên BĐT tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=x\\ab+bc+ca=y\end{matrix}\right.\) với \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ge y\end{matrix}\right.\)
BĐT tương đương:
\(\left(x+2y\right)\left(x-y\right)^2\le x^3\)
\(\Leftrightarrow x^3-3xy^2+2y^3\le x^3\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(3x-2y\right)\ge0\)
Hiển nhiên đúng do \(3x-2y=x+2\left(x-y\right)\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(ab+bc+ca=0\)
7 tháng 2 2017
Vì vai trò của a,b,c là như nhau , nên có thể giả thiết \(a\ge b>c>0.\)
Có thể thấy rằng phải chứng minh : \(B\ge0,\)với
\(B=3abc+a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2a-a^2c-b^2c-c^2a-c^2b\)
\(=a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)+c\left(2ab-a^2-b^2\right)+c\left(c^2-bc-ac+ab\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)-c\left(a-b\right)^2+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2\left(a+b-c\right)+\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
Do giả thiết \(a\ge b\ge c,c>0\)
\(\RightarrowĐPCM\)
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)
\(=\left(a^2b^2+2a^2+2b^2+4\right)\left(c^2+2\right).\)
\(=a^2b^2c^2+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2+4a^2+4b^2+4c^2\)
\(=a^2b^2c^2+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2+4=a^2b^2c^2+a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)