Question

[Nhok_baobinh]

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm R. Tia AR cắt tia DC tại S. Đường thẳng đi qua A vuông góc với AR cắt tia CB tại P, cắt tia CD tại Q . QR cắt PS tại H. M và N lần lượt là trung điểm của QR và PS

a) CM: tam giác AQR và APS là các tam giác vuông cân

b) CM: tứ giác AMHN là hình chữ nhật

c) CM: P là trực tâm tam giác SQR

d) CM: MN là trung trực của AC

e) CM: M; B; N; D thẳng hàng

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta có: ^BAR+^DAR=^BAD=90⁰ (1)

               ^DAQ+^DAR=90⁰ (Do PQ vuông góc AR) (2)

Từ (1) và (2) => ^BAR=^DAQ

Xét \(\Delta\)ABR và \(\Delta\)ADQ:

^ABR=^ADQ=90⁰

AB=AD                             => \(\Delta\)ABR=\(\Delta\)ADQ (g.c.g)

^BAR=^DAQ

=> AR=AQ (2 cạnh tương ứng) . Xét tam giác AQR:

AR=AQ, ^QAR=90⁰ => \(\Delta\)AQR là tam giác vuông cân tại A.

Tương tự: \(\Delta\)ADS=\(\Delta\)ABP (g.c.g)

=> AS=AP, ^PAS=90⁰ => \(\Delta\)APS vuông cân tại A.

b) \(\Delta\)AQR vuông cân tại A, M là trung điểm của QR => AM vuông góc QR (3)

Tương tự: AN vuông góc với PS (4)

Lại có: AM là phân giác của ^QAR (Do \(\Delta\)AQR...) => ^MAR=45⁰

           AN là phân giác của ^PAS => ^SAN=45⁰

=> ^MAR+^SAN=^MAN=90⁰ (5)

Từ (3), (4) và (5) => Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (đpcm)

c) Vì tứ giác AMHN là hcn => ^MHN=90⁰ => MH vuông góc với PS hay QH vuông góc với PS

Xét \(\Delta\)SQR: PQ vuông góc RS tại A, PS vuông góc QR tại H

=> P là trực tâm của tam giác SQR (đpcm).

d) Ta thấy \(\Delta\)PCS vuông tại C (PC vuông góc QS), N là trung điểm của PS => CN=PN=SN.

Lại có: Tam giác APS vuông cân tại A, N là trung điểm PS => AN=PN=SN

=> CN=AN => N nằm trên đường trung trực của AC (6)

Tương tự: Tam giác QCR vuông tại C, M là trung điểm QR => CM=QM=RM

              Tam giác AQR vuông cân A, M là trung điểm QR => AM=QM=RM

=> CM=AM => M nằm trên đường trung trực của AC (7) 

Từ (6) và (7) =>  MN là trung trực của AC (đpcm). (8)

e) Xét hình vuông ABCD: 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

=> BD là trung trực của AC (9)

Từ (8) và (9) => M;B;N;D thẳng hàng (đpcm).