Question

[ngannek]

Cho a,b \(\in\) N và ( 11a + 2b ) ⋮ 3 . Chứng minh rằng ( 10a + 37b ) ⋮ 3

Answer 1

[Bùi Tường Vân]

Để chứng minh rằng (10�+37�)(10a+37b) chia hết cho 3, ta cần sử dụng giả thiết 11�+2�11a+2b chia hết cho 3, tức là:

11�+2�≡0(mod3)11a+2b≡0(mod3)

Bước 1: Xử lý điều kiện ban đầu

Ta có điều kiện là:

11�+2�≡0(mod3)11a+2b≡0(mod3)

Vì 11≡2(mod3)11≡2(mod3), ta có thể thay 11 bằng 2 trong phép toán modulo 3:

2�+2�≡0(mod3)2a+2b≡0(mod3)

Tiếp theo, ta có thể rút gọn vế trái:

2(�+�)≡0(mod3)2(a+b)≡0(mod3)

Do 2 và 3 là các số nguyên tố với nhau, ta có thể chia cả hai vế cho 2:

�+�≡0(mod3)a+b≡0(mod3)

Vậy, �+�a+b chia hết cho 3.

Bước 2: Chứng minh 10�+37�≡0(mod3)10a+37b≡0(mod3)

Bây giờ, ta cần chứng minh 10�+37�≡0(mod3)10a+37b≡0(mod3). Ta sẽ làm điều này bằng cách tính các giá trị của 1010 và 3737 modulo 3:

• 10≡1(mod3)10≡1(mod3)
• 37≡1(mod3)37≡1(mod3)

Vậy, ta có:

10�+37�≡1�+1�≡�+�(mod3)10a+37b≡1a+1b≡a+b(mod3)

Vì từ bước 1, ta biết rằng �+�≡0(mod3)a+b≡0(mod3), nên:

10�+37�≡�+�≡0(mod3)10a+37b≡a+b≡0(mod3)

Kết luận:

Vậy, ta đã chứng minh được rằng 10�+37�10a+37b chia hết cho 3, tức là:

10�+37�≡0(mod3)10a+37b≡0(mod3)

Điều này hoàn thành bài toán.

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}11a+2b⋮3\\21a+39b⋮3\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(21a+39b-11a-2b⋮3\)

=>\(10a+37b⋮3\)