Question

[vũ thế anh]

Từ điểm A ở ngoài (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B; C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ đường kính BD của (O), AD cắt (O) tai E.
a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O, C thuộc một đường tròn và OA vuông góc BC.
b) Chứng minh: AE.AD = AH.AO
c) AO cắt BE tại I, AD cắt BC tại F, FI cắt AB tại K. Chứng minh: FI = BF. sinACB. 2

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C O D E I F K H

a/

Ta có B và C cùng nhìn AO dưới 2 góc = nhau và \(=90^o\)

=> B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

=> A; B; O; C cùng nằm trên một đường tròn

Xét tg vuông ABO và tg vuông ACO có

\(OB=OC=R\)

AO chung

=> tg ABO = tg ACO (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng = nhau)

\(\Rightarrow AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A và \(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow OA\perp BC\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

b/

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ADC\)

\(sđ\widehat{ACE}=\dfrac{1}{2}sđcungCE\) (góc giữa tt và dây cung)

\(sđ\widehat{ADC}=\dfrac{1}{2}sđcungCE\) (góc nt)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{ADC}\)

\(\widehat{CAD}\) chung

\(\Rightarrow\Delta ACE\sim\Delta ADC\left(g.g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AD}\Rightarrow AC^2=AE.AD\)

Xét tg vuông AOC có

\(AC^2=AH.AO\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow AE.AD=AH.AO\)

c/

Xét tg vuông