Question

[anh12]

Bài 31. Cho đường tròn (�; �) và điểm � nằm ngoài đường tròn. Qua � kẻ hai tiếp
tuyến ��, �� với đường tròn (�; �) (�; � là tiếp điểm).
1. Chứng minh bốn điểm �, �, �,� cùng thuộc một đường tròn.
2. Kẻ đường kính �� của đường tròn (�; �). Đoạn thẳng �� cắt đoạn thẳng �� tại
điểm �
a) Chứng minh BD//OM.
b) Chứng minh ��! = �� ⋅ ��
3. Đoạn thẳng �� cắt đường tròn (�; �) tại điểm � khác �. Chửng minh ��! =
��. �� và ��� \ = ��� \.
4. Đoạn thẳng �� cằt đường tròn (�; �) tại điềm �. Chứng minh AI là phân giác của
��� \ và ��.�� = ��.��

Answer 1

[Nguyễn Gia Bảo]

1. Chứng minh bốn điểm O, A, B, I cùng thuộc một đường tròn:

• Ta có OA ⊥ AB tại A (OA là bán kính, AB là tiếp tuyến)
• Ta có OB ⊥ AB tại B (OB là bán kính, AB là tiếp tuyến)
• Vậy OA và OB cùng vuông góc với AB tại A và B.
• Suy ra A, B cùng nằm trên đường tròn đường kính OI. (Vì góc nội tiếp chắn đường kính là góc vuông).
• Vậy O, A, B, I cùng thuộc đường tròn đường kính OI.

2. Kẻ đường kính BC của đường tròn (O; R). Đoạn thẳng BC cắt đoạn thẳng AI tại điểm M.

a) Chứng minh BD // OM:

• Xét tam giác OAB, OA = OB (bán kính), nên tam giác OAB cân tại O. OM là trung tuyến (M là trung điểm AB vì AB là dây cung).
• Trong tam giác cân, trung tuyến cũng là đường cao, vậy OM ⊥ AB.
• Xét tam giác BCD, BC là đường kính, nên góc BDC = 90°. Vậy BD ⊥ CD.
• Vì AB và CD đều vuông góc với OM, suy ra AB // CD (cùng vuông góc với OM).
• Do đó, BD // OM.

b) Chứng minh AI² = AM . AC:

• Xét tam giác ABI và tam giác ACI, ta có:
  • Góc BAI = góc CAI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
  • Góc AIB = góc AIC (góc đối đỉnh)
  • Góc ABI = góc ACI (góc nội tiếp chắn cung AI)
• Xét ΔAMI và ΔACI, có:
  • ∠MAI chung
  • ∠AMI = ∠ACI (cùng chắn cung AI)
• Do đó ΔAMI ~ ΔACI (g.g)
• => AI/AC = AM/AI
• => AI² = AM . AC

3. Đoạn thẳng AI cắt đường tròn (O; R) tại điểm K khác A. Chứng minh AI² = AK . AC và ∠AKI = ∠ACI:

• Xét tam giác AKC và tam giác AIC, ta có:
  • Góc KAC chung.
  • Góc AKC = góc AIC ( cùng chắn cung AC)
• Vậy tam giác AKC đồng dạng với tam giác AIC (g.g)
• Suy ra AK/AI = AI/AC
• Suy ra AI² = AK . AC
• Góc AKI = góc ACI (hai góc tương ứng trong hai tam giác đồng dạng)

4. Đoạn thẳng AI cắt đường tròn (O; R) tại điểm K. Chứng minh AI là phân giác của ∠KAC và AK . AC = AB . AI:

• Ta đã chứng minh được ở câu 3 rằng AI² = AK . AC. Câu này có vẻ bị trùng lập hoặc có lỗi đề. Phần AK . AC = AB . AI thì không đúng trong trường hợp tổng quát.