Question

[Trần Anh Tú]

Cho (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 và abc khác 0.

CMR: bc/a^2 + ab/c^2 + ac/b^2=3.

Answer 1

[Trịnh Quỳnh Nhi]

Ta có \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{\left(bc\right)^3+\left(ab\right)^3+\left(ac\right)^3}{\left(abc\right)^2}\)

Ta lại có (a+b+c)²=a²+b²+c²

=>a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)= a²+b²+c²

=> 2(ab+bc+ac)=0=> ab+bc+ac=0

Ta cần chứng minh bài toán phụ x+y+z=0 thì

x³+y³+z³=3xyz

Ta thấy x+y+z=0=> x+y=-z

=> (x+y)³=-z³ => x³+3xy(x+y)+y³=-z³

=> x³+y³+z³=-3xy(x+y)=-3xy.(-z)=3xyz

Áp dụng vào bài toán ta có 

ab+bc+ac=0 => (ab)³+(bc)³+(ac)³=3(abc)²

=> \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{3\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^2}=3\)

=> đpcm