Question

[Quỳnh Trang]

Bài 1: Cho hai đường tròn (O;R), (O`;R`) tiếp xúc ngoài tại A (R lớn hơn R`). Vẽ các đường kính AOB; AO`C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.

a) Tứ giác BDCE là hình gì ? Vì sao?

b) Gọi I là giao điểm của DA và đường tròn (O). Chứng minh rằng ba điểm E, I, C thẳng hàng 

c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O`)

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C D E K I O' O N

a/

Ta có

\(BC\perp DE\left(gt\right)\left(1\right)\Rightarrow DK=EK\) (trong hình tròn, đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung)

AK=CK (gt)

=> BDCE là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh) (2)

Từ (1) Và (2) => BDCE là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

b/ Nối C với I và C với E

Ta có CE//BD (cạnh đối hình thoi)

Xét (O) có

\(\widehat{BDA}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BD\perp DI\)

Xét (O') có

\(\widehat{AIC}=90^o\)(góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow CI\perp DI\)

=> CI//BD

Như vậy CE và CI cùng // với BD \(\Rightarrow CE\equiv CI\) (Từ 1 điểm bên ngoài đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho) => E, I, C thẳng hàng 

c/

Ta có

\(DE\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{DKC}=90^o\)

 \(\widehat{AIC}=90^o\left(cmt\right)\)

=> K và I cùng nhìn CD dưới 2 góc bằng nhau và \(=90^o\) => CDKI là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{KID}=\widehat{KCD}\) (góc nt cùng chắn cung KD) (3)

Xét tg vuông CDK và tg vuông CEK có

DK=EK (gt); CK chung => tg CDK = tg CEK (2 tg vuông có 2 cạnh góc vuông = nhau)

\(\Rightarrow\widehat{KCD}=\widehat{KCE}\) (4)

Xét tg O'IC có

O'I=O'C=r => tg O'IC cân tại O'

\(\Rightarrow\widehat{KCE}=\widehat{O'IC}\) (5)

Từ (3) (4) (5) \(\Rightarrow\widehat{KID}=\widehat{O'IC}\)

Mà \(\widehat{O'IC}+\widehat{AIO'}=\widehat{AIC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{KID}+\widehat{AIO'}=\widehat{KIO'}=90^o\Rightarrow KI\perp O'I\)

=> KI là tiếp tuyến của (O')