cho a,b,c >0 tm a+b+c=3
CMR: \(\sqrt{1+a^2+2bc}+\sqrt{1+b^2+2ac}+\sqrt{1+c^2+2ab}\le6\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
4 tháng 8 2020
Ta có BĐT: \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\).
BĐT trên dễ dàng chứng minh được bằng cách sử dụng phép biến đổi tương đương.
Do đó: \(\left(\sum\sqrt{a^2+2bc}\right)^2\le3\left(\sum a^2+2\sum bc\right)=3\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\sum\sqrt{a^2+2bc}\le\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
PV
19 tháng 2 2018
xin lỗi nha MÌNH sai đề ở chổ \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
24 tháng 11 2021
\(1,\text{Áp dụng Mincopxki: }\\ Q\ge\sqrt{\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2}\ge\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b\)
24 tháng 11 2021
\(2,\text{Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: }\\ P\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{9}{1}=9\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
N
9 tháng 8
P=\(\dfrac{\sqrt{2}.a}{\sqrt{\left(a^2+\left(b+c\right)^2\right)\left(1+1\right)}}+\dfrac{\sqrt{2}.b}{\sqrt{\left(b^2+\left(a+c\right)^2\right)\left(1+1\right)}}+\dfrac{\sqrt{2}.c}{\sqrt{\left(c^2+\left(b+a\right)^2\right)\left(1+1\right)}}\)>=\(\dfrac{\sqrt{2}.a}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{2}.b}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{2}.c}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}}\)>=\(\sqrt{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 4 2020
\(15\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+30\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=40\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2007\)
\(\Leftrightarrow15\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=40\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2007\)
\(\Leftrightarrow15\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le\frac{40}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+2007\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le2007\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{\frac{6021}{5}}\)
Ta có:
\(5a^2+2ab+2b^2=4a^2+2ab+b^2+a^2+b^2\ge4a^2+2ab+b^2+2ab=\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}=\frac{1}{a+a+b}+\frac{1}{b+b+c}+\frac{1}{c+c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}\sqrt{\frac{6021}{5}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\sqrt{\frac{5}{6021}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2020
Mẫu thức như vầy thì tìm max còn được chứ tìm min sao nổi bạn?
29 tháng 5 2018
Ta có: \(5a^2+2ab+2b^2=4a^2+2ab+b^2+\left(a^2+b^2\right)\ge4a^2+2ab+b^2+2ab=\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Lại có: \(\frac{1}{2a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự cộng lại ta có: \(VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=3\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
đặt A=...
Áp dúng bất đẳng thức bu nhi a ta có
\(A^2\le3\left(1+a^2+2bc+1+b^2+2ac+1+c^2+2ab\right)=3\left[\left(a+b+c\right)^2+3\right]\)
=> \(A^2\le36\Rightarrow A\le6\) (ĐPCM)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1