Question

[Thạch Tít]

Cho hình bình hành ABCD trong đó AD=2.AB. Từ C kẻ CE\(\perp\)AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M kẻ MF\(\perp\)CE, MF cắt BC tại N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì ?

b) Tam giác EMC là tam giác gì ?

c) Chứng minh góc BAD gấp đôi góc AEM.

Answer 1

[Songoku Sky Fc11]

  

Giải

a) Ta có CE $\perp$ AB, MF $\perp$ CE (gt)

Suy ra MF // AB // CD

Nên MNCD là hình bình hành

Lại có MD = $\frac{1}{2}$AD = AB = CD

Vậy MNCD là hình thoi

b) Từ chứng minh trên ta có: CN = CD = $\frac{1}{2}$BC; NF // BE

nên EF = FC

$\Delta$EMC có MF là đường cao vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân

Vậy $\Delta$EMC cân tại M

c) Ta có: góc BAD = góc NMD (đồng vị) (1)

mà góc NMD = góc M₁ + góc M₂ = 2 lần góc M₃ (2)

và góc M₃ = góc AEM (so le trong) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: góc BAD = 2 lần góc AEM

  

Answer 2

[Ngô Thế Trường ( CRIS DEVID )]

 ta có: MN//AB//CD ( MN và AB cùng vuông góc với CE) 
và MD//NC (AD//BC) 
=> MNCD là hình bình hành (1) 
MD=AD/2 
MN=AB=AD/2 
nên MD=MN (2) 
từ (1)(2) => MNCD là hình thoi. 
B) do MN//AB//CD(câu a) 
và M là trung điểm AD 
=> F là trung điểm EC => MF là đường trung tuyến của tam giác MEC 
với lại MF là đường cao của tam giác MEC(MF vuông góc với EC) 
=> tam giác MEC cân tại M 
C) tam giác MEC cân tại M và MF là đường cao của tam giác MEC 
=> MF là đường phân giác của tam giác MEC 
=> góc EMF=góc FMC 
góc AEM=góc EMF(AB//MN) 
góc FMC=góc CMD(MNCD là hình thoi nên đường chéo MC là phân giác) 
từ 3 điều trên suy ra góc AEM=EMF=FMC=CMD 
=> 2AEM=FMC+CMD