\(a^4\)+\(b^4\)+\(c^4\)=1. Tìm giá trị lớn nhất của \(ab^3+bc^3+ca^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 1 2021
\(P\le a^2+b^2+c^2+3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)
\(P_{max}=12\) khi \(a=b=c=1\)
Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)
\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}\le a+b+c\le3\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}+3\left(a+b+c\right)\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)
\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+6+\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}\ge3\sqrt{3}\)
\(P_{min}=3\sqrt{3}\) khi \(x=\sqrt{3}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị
10 tháng 9 2020
Đề TST của KHTN lớp 10 :3
Dễ có:\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3\)
\(P=\Sigma\frac{bc}{\sqrt[4]{a^2+3}}\ge\Sigma\frac{bc}{\sqrt[4]{a^2+ab+bc+ca}}=\Sigma\frac{bc}{\sqrt[4]{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=\Sigma\frac{\sqrt{2}bc}{\sqrt[4]{\left(a+b\right)\left(a+c\right)2\cdot2}}\)
Đến đây khó quá huhu
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2021
\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right)\) ; \(\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+b}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
1 tháng 9 2021
Cho a, b, c, d là các chữ số thỏa mãn: ab+ca=da ab-ca=a Tìm giá trị của d.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\Rightarrow-3\le a+b+c\le3\)
\(S=a+b+c+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+a+b+c-\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow-3\le x\le3\)
\(S=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)^2-2\ge-2\)
\(S_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=-1\\a^2+b^2+c^2=3\end{matrix}\right.\) (có vô số bộ a;b;c thỏa mãn)
\(S=\dfrac{1}{2}\left(x^2+2x-15\right)+6=\dfrac{1}{2}\left(x-3\right)\left(x+5\right)+6\le6\)
\(S_{max}=6\) khi \(x=3\) hay \(a=b=c=1\)
ML
12 tháng 6 2015
\(P=\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-9}}{c}\)
Ta có: \(a=\left(a-1\right)+1\ge2\sqrt{a-1}\)
\(b=\left(b-4\right)+4\ge2\sqrt{\left(b-4\right).4}=4\sqrt{b-4}\)
\(c=\left(c-9\right)+9\ge2\sqrt{\left(c-9\right).9}=6\sqrt{c-9}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a-1=1;b-4=4;c-9=9\)hay \(a=2;b=8;c=18\)
Phân tích và giải quyết:
1. Đặt ẩn phụ:
Để đơn giản hóa biểu thức, ta đặt:
Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất trở thành:
x / (x + y + z)2. Áp dụng bất đẳng thức:
Ta có bất đẳng thức quen thuộc:
(x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + zx)Chứng minh: Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách khai triển bình phương và sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
3. Áp dụng vào bài toán:
Từ a⁴ + b⁴ + c⁴ = 1, ta có:
Áp dụng bất đẳng thức trên cho a², b², c², ta được:
(a² + b² + c²)² ≥ 3(a²b² + b²c² + c²a²)Hay:
1 ≥ 3(a²b² + b²c² + c²a²)Nhân cả hai vế với a²b²c², ta có:
a²b²c² ≥ 3(a⁴b⁴c⁴ + a³b³c³ + a²b³c⁴)Thay x, y, z vào, ta được:
xyz ≥ 3(x²y + y²z + z²x)4. Trở lại biểu thức cần tìm:
Ta có:
x / (x + y + z) = 1 / (1 + y/x + z/x)Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương y/x và z/x, ta được:
y/x + z/x ≥ 2√(yz/x²)Tương tự, ta cũng có:
x/y + z/y ≥ 2√(xz/y²) x/z + y/z ≥ 2√(xy/z²)Nhân vế theo vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
(y/x + z/x)(x/y + z/y)(x/z + y/z) ≥ 8Hay:
(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyzTừ đó suy ra:
1 / (1 + y/x + z/x) ≤ 1/2Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức (ab³) / (ab³ + bc³ + ca³) là 1/2.
Kết luận:
Giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 1/2. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/√3.