cho số thực a bất kỳ.CMR \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2}+1}\)\(\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
5 tháng 7 2019
Đề sai à bạn? Vì với a = 0, phân thức đại số trên bằng \(\sqrt{2}< 2\).
5 tháng 7 2019
\(\frac{a^2+a+2}{\sqrt{a^2+a+2}}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+a+2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+a+2\ge4\)
\(\Leftrightarrow a^2+a-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a-a-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+2\right)-\left(a+2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a\le-2\\a\ge1\end{matrix}\right.\)
Đề bài sai bạn ơi, không chứng minh được, chỉ tìm được ra khoảng của x thôi
15 tháng 1 2020
Áp dụng bất đăng thức cô si, ta có:
\(A=\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{a^2}}\)
\(\ge\sqrt{2.\frac{a}{b}}+\sqrt{2.\frac{b}{a}}\)
\(\ge2.\sqrt{\sqrt{2.\frac{a}{b}.2.\frac{b}{a}}}=2\sqrt{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{b}\\\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\)
30 tháng 5 2017
\(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2a}}\ge\frac{2}{a+2b+1}+\frac{2}{b+2a+1}\)
\(\ge2.\frac{4}{3a+3b+2}=\frac{8}{\frac{3.2}{3}+2}=2\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{3}\)
T
26 tháng 5 2020
Đặt \(a=\frac{x^2}{z},\text{ }b=\frac{y^2}{z}\) thì \(z=\sqrt{x^4+y^4}\) và x, y, z > 0
Ta cần chứng minh: \(z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)-\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2\ge2\sqrt{2}\)
Tương đương: \(\sqrt{x^4+y^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\ge\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+2\sqrt{2}\)
Sau cùng ta cần chứng minh: \(\frac{2\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge0\)
Xong.
MA
9
KM
25 tháng 12 2016
Số thực là số được định nghĩa từ các thành phần của chính nó, trong đó tập hợp số thực được coi như là hợp của tập hợp các số vô tỉ với tập hợp số hữu tỉ. Số thực có thể là số đại số hoặc số siêu việt. Tập hợp số thực được đặt làm đối trọng với tập hợp số phức.
HF
3 tháng 8 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}+2=\frac{a+b-1}{ab}+2\)
\(\frac{2\left(a+b-1\right)}{\left(a+b\right)^2-1}+2=\frac{2}{a+b+1}+2\ge\frac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+1}+2=\frac{2}{\sqrt{2}+1}+2=2\sqrt{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
T
3 tháng 8 2020
Đặt \(a=\frac{x^2}{z},b=\frac{y^2}{z}\rightarrow x^4+y^4=z^2\) where x, y, z> 0
\(z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)-\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2\ge2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^4+y^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\ge2\sqrt{2}+\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) *Đúng*
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 3 2020
Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\geq 2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}-\frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2ab+1}-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{2ab}{ab(\sqrt{2ab+1}+1}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2ab+1}+1}\geq \sqrt{2}-1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2ab+1}+1\leq \sqrt{2}+1\)
\(\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}\leftrightarrow 2ab\leq 1\Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2\) (luôn đúng theo AM-GM)
Do đó ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 3 2020
Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\geq 2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}-\frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2ab+1}-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{2ab}{ab(\sqrt{2ab+1}+1}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2ab+1}+1}\geq \sqrt{2}-1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2ab+1}+1\leq \sqrt{2}+1\)
\(\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}\leftrightarrow 2ab\leq 1\Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2\) (luôn đúng theo AM-GM)
Do đó ta có đpcm.
Bạn ơi đề sai rùi kìa nếu thử x=1 thì ko tm
đúng mà bạn