Question

[Đào Gia Bảo Phúc]

41.cho △ ABC,các đg trung tuyến AD,BE,CF.ĐG thẳng kẻ qua E song song với AB,qua F song song với BE cắt nhau ở G.CM:

a) tứ giác AFEG là hình bình hành

b) 3 điểm D,E,G thẳng hàng và CG=AD

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác BFGE có

BF//GE

BE//FG

Do đó: BFGE là hình bình hành

=>GE//BF và GE=BF

ta có: GE//BF

F\(\in\)BA

Do đó: GE//AB và GE//AF

Ta có: GE=BF

BF=AF

Do đó: GE=AF

Xét tứ giác AFEG có

AF//GE

AF=GE

Do đó: AFEG là hình bình hành

b: Xét ΔCAB có

D,E lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>DE là đường trung bình của ΔCAB

=>DE//AB và \(DE=\dfrac{AB}{2}=FB=FA\)

Ta có: DE//AB

EG//AB

mà DE,EG có điểm chung là E

nên D,E,G thẳng hàng

Ta có: DE=FB

GE=FB

Do đó: DE=EG

mà D,E,G thẳng hàng

nên E là trung điểm của DG

Ta có: DG=2DE

AB=2FB

mà DE=FB

nên DG=AB

Xét tứ giác AGBD có

AB//DG

AB=DG

Do đó: AGBD là hình bình hành

=>AG//BD và AG=BD

Ta có: AG//BD

D thuộc BC

Do đó: AG//DC

Ta có: AG=BD

BD=DC

Do đó: AG=CD

Xét tứ giác AGCD có

AG//CD

AG=CD

Do đó: AGCD là hình bình hành

=>CG=AD