Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn: abc + bcd + cda + adb = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=4\left(a^3+b^3+c^3\right)+9d^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 5 2017
Giải:
Trước hết ta chứng minh \(\forall x,y,z\ge0\) ta có: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)
Do vai trò \(a,b,c\) như nhau nên giả sử \(a=b=c=kd\)
Khi đó áp dụng \(\left(1\right)\) ta có:
\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\)
\(d^3+\frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}\ge\frac{3dab}{k^2}\)
\(d^3+\frac{b^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}\ge\frac{3bdc}{k^2}\)
\(d^3+\frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}\ge\frac{3dca}{k^2}\)
\(\Rightarrow3d^3+\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3}{k^2}\left(abc+bcd+cda+dab\right)\)
\(\Rightarrow9d^3+3\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{9}{k^2}.\)
Vậy ta tìm \(k\) thỏa mãn \(\Rightarrow3\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)=4\Rightarrow4k^3-3k-6=0\)
Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)^2\) ta có:
\(k=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)=6\)
\(\Leftrightarrow x^6-12x^3+1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\\x=\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(6-\sqrt{35}\right)\left(6+\sqrt{35}\right)=1\Rightarrow k=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)\)
Với \(k\) xác định như trên ta tìm được:
\(P_{min}=\frac{9}{k^2}=\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)
TN
24 tháng 5 2017
bài này mk có cách làm r` mà hơi ngu mà hơi là ko dc làm gì phải dứt khoát chờ mk tìm cách ngu hơn
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
TT
7 tháng 3 2020
Ồ sorry bạn nhiều, chỗ đấy bị lỗi kĩ thuật rồi, mình sửa lại nhé :
\(M\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Lại có : \(\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt{a^3b^3c^3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Do đó : \(M\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
TT
7 tháng 3 2020
Ta có : \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{a\left(b+c\right)}=\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{a\left(b+c\right)}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}=\frac{\left(\frac{1}{b}\right)^2}{b\left(a+c\right)}\) , \(\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(\frac{1}{c}\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)
Ta thấy : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(M=\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\) \(\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vâỵ \(M_{min}=\frac{3}{2}\) tại \(a=b=c=1\)
PN
1 tháng 9 2020
Ta có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow\sqrt[3]{abc}\le1\Leftrightarrow abc\le1\)(bđt AM-GM)
Khi đó \(P=2\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(=2\left(\frac{abc}{c}+\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}\right)-1=2\left[abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]-1\)
\(=2abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-1=2.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}-1=\frac{2.9}{3}-1=5\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Vậy GTNN của \(P=5\)đạt được khi \(a=b=c=1\)
p/s : nói chung hướng làm là vậy thôi :v chứ minh làm sai chỗ nào rồi ý
20 tháng 11 2019
Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo.
T
20 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c = 2
Chuyên KHTN 2014
bài này thuộc hàng cân = hệ số khủng
Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể dự đoán dấu bằng xảy ra tại \(a=b=c=dk\) với k dương
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ ba số dương ta được
\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\)(*) ; \(\frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3adb}{k^2}\)(**) ; \(\frac{b^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3bcd}{k^2}\)(***) ;\(\frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3cda}{k^2}\)(****)
Cộng theo vế 4 bất đẳng thức (*), (**), (***), (****), ta được: \(\left(\frac{1}{k^2}+\frac{2}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+3d^3\ge\frac{3\left(abc+bcd+cda+dab\right)}{k^2}=\frac{3}{k^2}\)
Hay \(\left(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+9d^3\ge\frac{9}{k^2}\)
Ta cần tìm k để \(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}=4\Leftrightarrow4k^3-3k-6=0\)và ta chọn k là số dương
Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\)thay vào phương trình trên và biến đổi ta thu được \(x^6-12x^3+1=0\)
Giải phương trình này ta được \(x=\sqrt[3]{6\pm\sqrt{35}}\), để ý \(\left(6+\sqrt{35}\right)\left(6-\sqrt{35}\right)=1\)nên ta tính được \(k=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}\)
Do đó ta tính được giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}d\)