Question

[Hà Quỳnh Chi]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhon( AB <AC). Đường cao BE,AK,CF cắt nhau tại H.  D là giao của BC và EF, N là giao AK và EF. O,I lần lượt là trung điểm BC và AH. C/m: ON vuông góc DI.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

ΔBFC vuông tại F

mà FO là đường trung tuyến

nên \(FO=\frac{BC}{2}\left(1\right)\)

ΔBEC vuông tại E

mà EO là đường trung tuyến

nên \(EO=\frac{BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra FO=EO

=>O nằm trên đường trung trực của EF(3)

Ta có: ΔAFH vuông tại F

mà FI là đường trung tuyến

nên \(FI=\frac{AH}{2}\) (4)

Ta có; ΔAEH vuông tại E

mà EI là đường trung tuyến

nên \(EI=\frac{AH}{2}\left(5\right)\)

Từ (4),(5) suy ra IE=IF

=>I nằm trên đường trung trực của EF(6)

Từ (3),(6) suy ra OI là đường trung trực của EF

=>OI⊥EF

=>DN⊥IO

Xét ΔDIO có

DN,IK là các đường cao

DN cắt IK tại N

Do đó: N là trực tâm của ΔDIO

=>ON⊥DI