Tìm giới hạn của các dãy số sau: \(Un=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{1^3+2^3+...+n^3}}{3n^3+n+2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 12 2021
\(\lim\limits\left(2-3n\right)^4\left(n+1\right)^3=\lim n^7\left(3-\dfrac{2}{n}\right)^4\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^3=+\infty\)
\(\lim\left(\sqrt[3]{n+4}-\sqrt[3]{n+1}\right)=\lim\dfrac{3}{\sqrt[3]{\left(n+4\right)^2}+\sqrt[3]{\left(n+4\right)\left(n+1\right)}+\sqrt[3]{\left(n+1\right)^2}}=0\)
\(\lim\left(\sqrt[3]{8n^3+3n^2+4}-2n+6\right)=\lim\dfrac{8n^3+3n^2+4-\left(2n-6\right)^3}{\sqrt[3]{\left(8n^3+3n^2+4\right)^2}+\left(2n-6\right)\sqrt[3]{8n^3+3n^2+4}+\left(2n-6\right)^2}\)
\(=\lim\dfrac{75n^2-216n+220}{\sqrt[3]{\left(8n^3+3n^2+4\right)^2}+\left(2n-6\right)\sqrt[3]{8n^3+3n^2+4}+\left(2n-6\right)^2}\)
\(=\lim\dfrac{75-\dfrac{216}{n}+\dfrac{220}{n^2}}{\sqrt[3]{\left(8+\dfrac{3}{n}+\dfrac{4}{n^3}\right)^2}+\left(2-\dfrac{6}{n}\right)\sqrt[3]{8+\dfrac{3}{n}+\dfrac{4}{n^3}}+\left(2-\dfrac{6}{n}\right)^2}\)
\(=\dfrac{75}{\sqrt[3]{8^2}+2.\sqrt[3]{8}+2^2}=...\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 12 2021
d.
\(\lim\left(\sqrt[3]{8n^3+3n^2-2}+\sqrt[3]{5n^2-8n^3}\right)\)
\(=\lim\left(\sqrt[3]{8n^3+3n^2-2}-\sqrt[3]{8n^3-5n^2}\right)\)
\(=\lim\dfrac{8n^3+3n^2-2-\left(8n^3-5n^2\right)}{\sqrt[3]{\left(8n^3+3n^2-2\right)^2}+\sqrt[3]{\left(8n^3+3n^2-2\right)\left(8n^3-5n^2\right)}+\sqrt[3]{8n^3-5n^2}}\)
\(=\lim\dfrac{8n^2-2}{\sqrt[3]{\left(8n^3+3n^2-2\right)^2}+\sqrt[3]{\left(8n^3+3n^2-2\right)\left(8n^3-5n^2\right)}+\sqrt[3]{8n^3-5n^2}}\)
\(=lim\dfrac{8-\dfrac{2}{n^2}}{\sqrt[3]{\left(8+\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^3}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(8+\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^3}\right)\left(8-\dfrac{5}{n}\right)}+\sqrt[3]{\left(8-\dfrac{5}{n}\right)^2}}\)
\(=\dfrac{8}{\sqrt[3]{8^2}+\sqrt[3]{8.8}+\sqrt[3]{8^2}}=...\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 2 2022
\(\lim\left(3n-\sqrt{9n^2+1}\right)=\lim\dfrac{-1}{3n+\sqrt{9n^2+1}}=\lim\dfrac{-\dfrac{1}{n}}{3+\sqrt{9+\dfrac{1}{n^2}}}=\dfrac{0}{3+3}=0\)
\(\lim\left(\sqrt[3]{n^3-2n^2}-n\right)=\lim\dfrac{-2n^2}{\sqrt[3]{\left(n^3-2n^2\right)^2}+n\sqrt[3]{n^3-2n^2}+n^2}\)
\(=\lim\dfrac{-2}{\sqrt[3]{\left(1-\dfrac{2}{n}\right)^2}+\sqrt[3]{1-\dfrac{2}{n}}+1}=\dfrac{-2}{1+1+1}=-\dfrac{2}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
\(\lim\dfrac{\left(2n-1\right)\left(3n^2+2\right)^3}{-2n^5+4n^3-1}=\lim\dfrac{\left(\dfrac{2n-1}{n}\right)\left(\dfrac{3n^2+2}{n^2}\right)^3}{\dfrac{-2n^5+4n^3-1}{n^7}}\)
\(=\lim\dfrac{\left(2-\dfrac{1}{n}\right)\left(3+\dfrac{2}{n^2}\right)^3}{-\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{4}{n^4}-\dfrac{1}{n^7}}=-\infty\)
\(\lim3^n\left(6.\left(\dfrac{2}{3}\right)^n-5+\dfrac{7n}{3^n}\right)=+\infty.\left(-5\right)=-\infty\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 2 2021
\(a=\lim4^n\left(1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\right)=+\infty.1=+\infty\)
\(b=\lim\left(4^n+2.2^n+1-4^n\right)=\lim2^n\left(2+\dfrac{1}{2^n}\right)=+\infty.2=+\infty\)
\(c=limn^3\left(\sqrt{\dfrac{2}{n}-\dfrac{3}{n^4}+\dfrac{11}{n^6}}-1\right)=+\infty.\left(-1\right)=-\infty\)
\(d=\lim n\left(\sqrt{2+\dfrac{1}{n^2}}-\sqrt{3-\dfrac{1}{n^2}}\right)=+\infty\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=-\infty\)
\(e=\lim\dfrac{3n\sqrt{n}+1}{\sqrt{n^2+3n\sqrt{n}+1}+n}=\lim\dfrac{3\sqrt{n}+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{n^2}}+1}=\dfrac{+\infty}{2}=+\infty\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 5 2020
Lời giải:
Xét hạng tử tổng quát:
\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1)}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Cho $n=1,2,...$ thì:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
......
\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(\Rightarrow U_n=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(\Rightarrow \lim\limits U_n=\lim (1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 2 2021
Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn trên bởi 2
Thật vậy, với \(n=1;2\) thỏa mãn
Giả sử điều đó cũng đúng với \(n=k\) , tức \(u_k< 2\)
Ta cần chứng minh \(u_{k+1}< 2\)
Ta có: \(u_{k+1}=\sqrt{3u_k-2}< \sqrt{3.2-2}=2\) (đpcm)
Tương tự, ta cũng quy nạp được dễ dàng \(u_n>1\)
Mặt khác: \(u_n-u_{n-1}=\sqrt{3u_{n-1}-2}-u_{n-1}=\dfrac{3u_{n-1}-2-u_{n-1}^2}{\sqrt{3u_{n-1}-2}+u_{n-1}}\)
\(=\dfrac{\left(2-u_{n-1}\right)\left(u_{n-1}-1\right)}{\sqrt{3u_{n-1}-2}+u_{n-1}}>0\)
\(\Rightarrow u_n>u_{n-1}\Rightarrow\) dãy tăng
Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.
Gọi giới hạn đó là k thì:
\(k=\sqrt{3k-2}\Leftrightarrow k=2\)
CY
2
MH
12 tháng 2 2022
\(a,lim\left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right)\)
\(=lim\dfrac{n^2+n+1-n^2}{\sqrt{n^2+n+1}+n}\)
\(=lim\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 2 2022
\(\lim\dfrac{\sqrt[]{n^3+2n}-2n^2}{3n+1}=\lim\dfrac{\sqrt[]{n+\dfrac{2}{n}}-2n}{3+\dfrac{1}{n}}=\lim\dfrac{n\left(\sqrt[]{\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^3}}-2\right)}{3+\dfrac{1}{n}}\)
\(=\dfrac{+\infty\left(0-2\right)}{3}=-\infty\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 2 2021
\(a=\lim n\left(\sqrt[3]{-1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{5}{n^3}}\right)=+\infty.\left(-1\right)=-\infty\)
\(b=\lim\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)=+\infty\)
\(c=\lim n\left(\dfrac{1}{n^2+n}-1\right)=+\infty.\left(-1\right)=-\infty\)
\(d=\lim\left(\dfrac{2n^2-1-2n\left(n+1\right)}{n+1}\right)=\lim\left(\dfrac{-1-2n}{n+1}\right)=-2\)
\(e=\lim\dfrac{2n^2+n-3+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{2}{n}-3}=\dfrac{+\infty}{-3}=-\infty\)
MH
11 tháng 2 2022
\(b,lim\dfrac{\left(n^2+1\right)\left(n-10\right)^2}{\left(n+1\right)\left(3n-3\right)^3}\)
\(=lim\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{10}{n^2}\right)^2}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{3}{n^3}\right)}=0\)
Ta có: \(1^3+2^3+..+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{3}\right]^2\)
\(\Rightarrow Un=\frac{n\left(n+1\right)^2}{3\left(3n^3+n+2\right)}\Rightarrow limUn=\frac{1}{9}\)