K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 4 2017

Sửa đề: \(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

Ta xét \(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+a\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) Đúng \(\forall a;b;c\in R\)

Vậy \(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\). Dấu \("="\)xảy ra khi \(a=b=c=1.\)

9 tháng 3 2019

(a^2+b^2)/2>=ab

<=>(a^2+b^2)>=2ab

 <=> a^2+2ab+b^2>=2ab 

<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)

=> điều phải chứng minh.

9 tháng 3 2019

Xét hiệu:  \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)

=>  \(a^2+b^2\ge2ab\)

Dấu "=" xra  <=>  a = b

Áp dụng ta có:

a)  \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)

dấu "=" xra  <=>  a = b = c = 1

b)  \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)

Dấu "=" xra  <=>  a = b= c = d = 2

9 tháng 3 2019

a ) Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2\ge2ab\) cho các cặp số thực , ta có :

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

b ) Làm tương tự như a )

9 tháng 3 2019

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

a) Lại có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\)

cmtt \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)

Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\left(dpcm\right)\)

b) Tiếp tục có \(\left(a-2\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+4\ge4a\)

CMTT: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+4\ge4b\\c^2+4\ge4c\end{matrix}\right.\)

Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\ge4a.4b.4c=256abc\left(dpcm\right)\)

22 tháng 5 2017

3 số thực dương nhé.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel có :

\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ca\right)+\left(c^2+2ab\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+2bc}=\frac{1}{b^2+2ca}=\frac{1}{c^2+2ab}\)\(a+b+c=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+2bc=b^2+2ca=c^2+2ab\)

Mong có ai giúp mình từ đẳng thức trên giải ra a=b=c.

22 tháng 5 2017

a=b=c ket hop voi a+b+c=<1 =>a=b=c=1/3 nhe

14 tháng 8 2018

Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :

Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Áp dụng : Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

Nhân vế theo vế ta được :

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)

12 tháng 5 2022

tham khảo link: https://lazi.vn/edu/exercise/202136/cho-a-b-c-0-chung-minh-cac-bat-dang-thuc-sau

2 tháng 1 2019

\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ca+bc}\ge\left(Schwarz\right)\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Mà theo Cô-si ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) (hằng đẳng thức)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

2 tháng 1 2019

cảm ơn hihi

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge ab+ac+ad+ae\)

Ta có :

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\)

\(=\left(\dfrac{a^2}{4}+b^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}+c^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}+d^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}+e^2\right)\)

Ta lại có :

\(\left(\dfrac{a}{2}-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a^2}{4}-ab+b^2\ge0\) \(\dfrac{\Rightarrow a^2}{4}+b^2\ge ab\)

Tương tự :

\(\dfrac{a^2}{4}+c^2\ge ac\)

\(\dfrac{a^2}{4}+d^2\ge ad\)

\(\dfrac{a^2}{4}+e^2\ge ae\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2}{4}+b^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}+c^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}+d^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}+e^2\right)\ge ab+ac+ad+ae\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge ab+ac+ad+ae\)

2 tháng 8 2017

cảm ơn bạn

21 tháng 6 2019

BĐT cần cm\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c+d\right)\ge ac+bd+2\sqrt{abcd}\)

\(\Leftrightarrow ac+ad+bc+bd\ge ac+bd+2\sqrt{abcd}\)

\(\Leftrightarrow ad+bc\ge2\sqrt{abcd}\)(luôn đúng)

dấu bằng xảy ra khi ad=bc